Modulo di Topologia

A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - giugno 2008
Modulo di Topologia
1. Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che risulta falsa:
(a) un insieme è compatto rispetto ad ogni topologia che si possa definire
in esso se, e solamente se, ha cardinalità finita;
(b) ogni funzione continua con dominio connesso e codominio discreto è
costante;
(c) nella ©topologia di Q ªindotta da quella euclidea di R il sottoinsieme
X = x ∈ Q : x2 ≤ 2 ha frontiera vuota;
(d) se X e Y sono spazı̂ topologici di cardinalità infinita i cui chiusi sono i
sottoinsiemi di cardinalità finita, allora anche nello spazio topologico
prodotto X × Y ogni chiuso ha cardinalità finita.
Soluzione: Per ricoprire un insieme di cardinalità finita bastano, ovviamente, un numero finito di aperti qualunque sia la topologia considerata.
Viceversa, uno spazio discreto per essere compatto deve necessariamente
essere di cardinalità finita.
Uno spazio discreto è sempre sconnesso, a meno che non si riduca ad un
singolo punto.
Il sottoinsieme X dato
√ (c)√può
√ £intersezione in due
£ in
¤ essere ottenuto
¤ √come
modi distinti: X = − 2, 2 ∩ Q e X = − 2, 2 ∩ Q, quindi è sia
aperto che chiuso in Q. Pertanto la sua frontiera è vuota.
Tra gli aperti dello spazio topologico prodotto X × Y c’è il sottoinsieme
(X \ {x})×(Y \ {y}) per una data coppia (x, y) ∈ X×Y . Il complementare
di tale aperto non ha cardinalità finita.
2. Nello spazio topologico euclideo E3 si consideri il sottospazio
©
ª
X = (x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, z = ±1
e la relazione d’equivalenza ∼ in X che identifica il punti (x, y, 1) e (x, y, −1)
di X se x2 + y 2 = 1. Tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio
quoziente X/∼ individuare l’unica che risulta falsa:
(a) X/ ∼ contiene un sottospazio omeomorfo allo spazio SO2 (R) delle
rotazioni del piano;
(b) X/∼ contiene un sottospazio omeomorfo allo spazio euclideo E2 ;
(c) X/∼ contiene un sottospazio omeomorfo al cilindro S1 × R;
(d) una delle precedenti affermazioni non è corretta.
Soluzione: Un’identificazione f : X → S2 è data dalla funzione continua
´
³
p
 x, y, 1 − x2 − y 2
se z = 1,
´
(x, y, z) 7−→ ³
p
 x, y, − 1 − x2 − y 2
se z = −1,
ottenuta incollando due funzioni continue definite su chiusi disgiunti di
X: f è palesamente suriettiva, ma anche chiusa avendo come dominio uno
spazio compatto e come codominio uno spazio di Hausdorff. Tenuto conto
che f (x, y, z) = f (x0 , y 0 , z 0 ) ⇐⇒ (x, y, z) ∼ (x0 , y 0 , z 0 ), f passa al quoziente
definendo un omeomorfismo X/∼ −→ S2 . A questo punto basta ricordare
che SO2 (R) è omeomorfo ad S1 , che S2 privato di un punto è omeomorfo
ad E2 e che S2 privato di due punti è omeomorfo al cilindro, per potere
concludere che l’affermazione falsa è la (d).
3. Individuare tra le seguenti applicazioni Z × Z −→ Z
(a) (x, y) 7→ y,
(b) (x, y) 7→ x,
(c) (x, y) 7→ x + y,
(d) (x, y) 7→ x − y,
l’unica che risulta continua quando si doti il codominio della topologia
discreta ed il dominio della topologia generata dalla famiglia di sottoinsiemi
©©
ª
ª
B = (k, y) : y ∈ Z : k ∈ Z .
Soluzione: Una funzione a valori in uno spazio discreto è continua se, e
solamente se, l’immagine inversa di ogni singolo punto è un aperto. Questa
osservazione permette
di concludere che nessuna delle funzioni (a), (c) e
¡
(d) è continua la pre-immagine di k ∈ Z è {(x, k) : x ∈ Z} per la (a),
{(x, k − x) : x ∈ Z} per la (c) e {(k + y, y) : y ∈ Z} per la¢ (d), e nessuno di
questi insiemi è ottenibile come unione di elementi di B . La funzione (b)
invece soddisfa la condizione perché induce una biezione tra gli elementi
di B e Z.
4. Nello spazio topologico euclideo E3 si consideri il sottospazio
X = {(x, y, z) : xz = y 2 }.
Individuare l’affermazione corretta:
(a) i chiusi di X sono compatti;
(b) X privato di uno qualsiasi dei suoi punti è connesso;
(c) esiste un aperto di X omeomorfo al cilindro R × S1 ;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: X è un cono per cui le considerazioni che servono possono
essere fatte ”a vista”. Tuttavia volendo ignorare l’aiuto visivo che si tratta
di un cono possiamo osservare che:
©
ª
• la retta (x, 0, 0) : x ∈ R è un chiuso contenuto in X, che non è
compatto non essendo limitato;
disgiunta
degli aperti non vuoti
• X privato
© del punto (0, 0, 0) è unione
ª
©
ª
A
=
(x,
y,
z)
∈
X
:
x
+
z
>
0
e
A
=
(x,
y,
z) ∈ X : x +¢ z < 0
1
2
¡
N.B.: il piano x + z = 0 interseca X nel solo punto (0, 0, 0) ;
• Gli aperti A1 ed A2 di X sono omeomorfi ad un piano privato di un
punto e quindi al cilindro R × S1 .
5. Nello spazio topologico euclideo delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali si
consideri il sottospazio X delle matrici M tali che M + M T sia diagonale
con det M = tr M = 0. Individuare l’affermazione corretta:
(a) X è connesso;
(b) X ha due componenti connesse ciascuna delle quali è omeomorfa allo
spazio euclideo E2 ;
(c) X ha quattro componenti connesse ciascuna delle quali è omeomorfa
allo spazio euclideo E1 ;
(d) X è totalmente disconnesso.
Soluzione: Le matrici di X sono precisamente le matrici
µ
¶
x
y
−y −x
con x2 − y 2 = 0. Ne consegue che X è omeomorfo al sottospazio di E2
determinato dalle bisettrici del piano.
6. Sia p : R −→ Z un’applicazione suriettiva e si doti R di una topologia T
in modo che la topologia quoziente indotta da p su Z sia quella discreta.
Individuare tra le seguenti affermazioni riguardanti lo spazio X = (R, T )
l’unica corretta:
(a)
(b)
(c)
(d)
X è compatto ma non connesso;
X è connesso ma non compatto;
X è connesso e compatto;
le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione: Basta osservare che uno spazio discreto di cardinalità infinita
non è né compatto, né connesso e che una funzione continua trasforma
compatti in compatti e connessi in connessi.