Modulo di Topologia generale Sessione straordinaria - novembre 2015 1. Per ciascun numero reale non negativo r si denoti con Ar l’insieme dei vettori di Rn di norma non inferiore ad r. Osservato che al variare di r tra i numeri reali non negativi la famiglia dei sottoinsiemi Ar forma una base per una topologia T su Rn , individuare tra le seguenti affermazioni quella che risulta corretta per lo spazio topologico X := (Rn , T ): (a) In X ogni punto non è chiuso; (b) l’insieme Cr dei vettori di Rn aventi norma non superiore ad r è un chiuso di X; (c) la parte interna di Ar è l’insieme Br dei vettori di Rn aventi norma superiore ad r; (d) ogni sottospazio compatto di X si sostiene su un chiuso di X. Soluzione. Possono essere fatte le seguenti considerazioni: • ciascun sottoinsieme Br è un aperto di X perché Br = non è la parte interna di Ar perché Ar è già aperto, S s>r As ; tuttavia • il vettore nullo dà il chiuso complementare di B0 ; • Cr è il complementare dell’aperto Br ; • ogni insieme finito di punti di X che non si riduca al solo vettore nullo sostiene un compatto di X, ma non è un chiuso non essendo il suo complementare unione di aperti Ar . 2. Siano X lo spazio topologico con sostegno R2 e topologia di Zariski (cioè, i chiusi propri di X sono varietà algebriche affini) e Y il sottospazio di X che si sostiene sui vettori di norma 1. Le affermazioni: • ogni chiuso proprio di Y ha parte interna vuota; • ogni aperto di Y è denso in Y ; sono (a) falsa la prima, falsa la seconda; (b) falsa la prima, vera la seconda; (c) vera la prima, falsa la seconda; (d) vera la prima, vera la seconda. Soluzione. Poiché i vettori di norma 1 sostengono la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1, ogni chiuso proprio di Y ha cardinalità finita ottenendosi per intersezione di due varietà algebriche di cui una irriducibile. Dunque ogni aperto non vuoto di Y ha cardinalità infinita e conseguentemente l’unico chiuso che lo può contenere è Y . 1 3. Nel sottospazio X di E2 che ha sostegno nel quadrato [0, 1] × [0, 1] si considerino per ciascun ε ∈ ]0, 1[ gli aperti: Aε := (x, y) : 0 ≤ x < 1 − ε ∧ ε < y ≤ 1 ; Bε := (x, y) : ε < x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y < 1 − ε ; S e si ponga Cε := Aε ∪ Bε . L’aperto 0<ε<1 Cε sostiene un sottospazio di X che risulta (a) né compatto, né connesso; (b) compatto, ma non connesso; (c) connesso, ma non compatto; (d) sia compatto, sia connesso. Soluzione. Se (a, b) è un punto di X con a 6= 1 e b 6= 0, allora (a, b) sta in Aε per ogni numero reale positivo ε minore sia 1 − a che di b, mentre se (a, b) è un punto di X con a 6= 0 e b 6= 1, allora (a, b) sta in Bε per ε minore S sia a che di 1 − b : ne consegue che gli unici punti di X non coperti dall’aperto 0<ε<1 Cε sono (0, 0) e (1, 1). 4. Sia X uno spazio topologico con sostegno di cardinalità almeno 2 in cui ogni sottoinsieme proprio di punti di X ha parte interna vuota. Le affermazioni: • ogni sottoinsieme proprio di punti di X è denso in X; • esiste un sottoinsieme proprio di punti di X che risulta simultaneamente aperto e chiuso; sono (a) falsa la prima, falsa la seconda; (b) falsa la prima, vera la seconda; (c) vera la prima, falsa la seconda; (d) vera la prima, vera la seconda. Soluzione. L’affermazione che ogni sottoinsieme proprio di punti di X è denso in X si ottiene, per passaggio al complementare, dall’affermazione che ogni sottoinsieme proprio di punti di X ha parte interna vuota e quest’ultima equivale ad affermare che X è privo di aperti propri: una tale topologia è certamente connessa. 5. Nello spazio euclideo M(2, C) delle matrici 2×2 a coefficienti complessi si consideri il sottospazio avente sostegno nell’insieme delle matrici unitarie di determinante 1 e traccia nulla. Tale sottospazio è omeomorfo a (a) C2 ; (b) CP1 ; (c) T2 ; (d) nessuno dei precedenti. 2 Soluzione: Il sottospazio che si sta considerando ha per sostegno l’insieme delle matrici a −b̄ b ā tali che aā + bb̄ = 1 e a + ā = 0, ovvero si ottiene topologicamente intersecando la sfera d’equazione aā + bb̄ = 1 con l’iperpiano vettoriale d’equazione a + ā = 0, cioè è uno spazio omeomorfo a S2 , quindi a CP1 . 6. Nel piano topologico euclideo E2 di coordinate (x, y) si considerino i sottospazı̂ X e Y aventi sostegno rispettivamente nelle rette V(y) e V(x). La famiglia di sottoinsiemi τ1 ∪ τ2 della varietà algebrica V(xy), dove τ1 := {A ∪ B : A è un aperto di X, B è un aperto di Y , A 63 (0, 0) 6∈ B}; τ2 := {A ∪ B : A è un aperto di X, B è un aperto di Y , A 3 (0, 0) ∈ B}; (a) non è una topologia di V(xy); (b) è una topologia di V(xy), ma non è di Haudorff; (c) è la topologia di V(xy) come sottospazio di E2 ; (d) è una topologia in cui ogni punto di V(xy) ha un intorno omeomorfo ad un aperto di E1 Soluzione. τ1 ∪ τ2 è la topologia indotta da E2 in V(xy) e (0, 0) è un punto che non ha in questa topologia un intorno omeomorfo ad un aperto di E1 . 3