Modulo di Topologia generale

Modulo di Topologia generale
Sessione straordinaria - novembre 2015
1. Per ciascun numero reale non negativo r si denoti con Ar l’insieme dei vettori di
Rn di norma non inferiore ad r. Osservato che al variare di r tra i numeri reali
non negativi la famiglia dei sottoinsiemi Ar forma una base per una topologia T
su Rn , individuare tra le seguenti affermazioni quella che risulta corretta per lo
spazio topologico X := (Rn , T ):
(a) In X ogni punto non è chiuso;
(b) l’insieme Cr dei vettori di Rn aventi norma non superiore ad r è un chiuso
di X;
(c) la parte interna di Ar è l’insieme Br dei vettori di Rn aventi norma superiore
ad r;
(d) ogni sottospazio compatto di X si sostiene su un chiuso di X.
Soluzione. Possono essere fatte le seguenti considerazioni:
• ciascun sottoinsieme Br è un aperto di X perché Br =
non è la parte interna di Ar perché Ar è già aperto,
S
s>r
As ; tuttavia
• il vettore nullo dà il chiuso complementare di B0 ;
• Cr è il complementare dell’aperto Br ;
• ogni insieme finito di punti di X che non si riduca al solo vettore nullo sostiene
un compatto di X, ma non è un chiuso non essendo il suo complementare
unione di aperti Ar .
2. Siano X lo spazio topologico con sostegno R2 e topologia di Zariski (cioè, i chiusi
propri di X sono varietà algebriche affini) e Y il sottospazio di X che si sostiene
sui vettori di norma 1. Le affermazioni:
• ogni chiuso proprio di Y ha parte interna vuota;
• ogni aperto di Y è denso in Y ;
sono
(a) falsa la prima, falsa la seconda;
(b) falsa la prima, vera la seconda;
(c) vera la prima, falsa la seconda;
(d) vera la prima, vera la seconda.
Soluzione. Poiché i vettori di norma 1 sostengono la circonferenza di centro
(0, 0) e raggio 1, ogni chiuso proprio di Y ha cardinalità finita ottenendosi per
intersezione di due varietà algebriche di cui una irriducibile. Dunque ogni aperto
non vuoto di Y ha cardinalità infinita e conseguentemente l’unico chiuso che lo
può contenere è Y .
1
3. Nel sottospazio X di E2 che ha sostegno nel quadrato [0, 1] × [0, 1] si considerino
per ciascun ε ∈ ]0, 1[ gli aperti:
Aε := (x, y) : 0 ≤ x < 1 − ε ∧ ε < y ≤ 1 ;
Bε := (x, y) : ε < x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y < 1 − ε ;
S
e si ponga Cε := Aε ∪ Bε . L’aperto 0<ε<1 Cε sostiene un sottospazio di X che
risulta
(a) né compatto, né connesso;
(b) compatto, ma non connesso;
(c) connesso, ma non compatto;
(d) sia compatto, sia connesso.
Soluzione. Se (a, b) è un punto di X con a 6= 1 e b 6= 0, allora (a, b) sta in Aε per
ogni numero reale positivo ε minore sia 1 − a che di b, mentre se (a, b) è un punto
di X con a 6= 0 e b 6= 1, allora (a, b) sta in Bε per ε minore
S sia a che di 1 − b : ne
consegue che gli unici punti di X non coperti dall’aperto 0<ε<1 Cε sono (0, 0) e
(1, 1).
4. Sia X uno spazio topologico con sostegno di cardinalità almeno 2 in cui ogni
sottoinsieme proprio di punti di X ha parte interna vuota. Le affermazioni:
• ogni sottoinsieme proprio di punti di X è denso in X;
• esiste un sottoinsieme proprio di punti di X che risulta simultaneamente
aperto e chiuso;
sono
(a) falsa la prima, falsa la seconda;
(b) falsa la prima, vera la seconda;
(c) vera la prima, falsa la seconda;
(d) vera la prima, vera la seconda.
Soluzione. L’affermazione che ogni sottoinsieme proprio di punti di X è denso
in X si ottiene, per passaggio al complementare, dall’affermazione che ogni sottoinsieme proprio di punti di X ha parte interna vuota e quest’ultima equivale ad
affermare che X è privo di aperti propri: una tale topologia è certamente connessa.
5. Nello spazio euclideo M(2, C) delle matrici 2×2 a coefficienti complessi si consideri
il sottospazio avente sostegno nell’insieme delle matrici unitarie di determinante
1 e traccia nulla. Tale sottospazio è omeomorfo a
(a) C2 ;
(b) CP1 ;
(c) T2 ;
(d) nessuno dei precedenti.
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Soluzione: Il sottospazio che si sta considerando ha per sostegno l’insieme delle
matrici
a −b̄
b ā
tali che aā + bb̄ = 1 e a + ā = 0, ovvero si ottiene topologicamente intersecando
la sfera d’equazione aā + bb̄ = 1 con l’iperpiano vettoriale d’equazione a + ā = 0,
cioè è uno spazio omeomorfo a S2 , quindi a CP1 .
6. Nel piano topologico euclideo E2 di coordinate (x, y) si considerino i sottospazı̂
X e Y aventi sostegno rispettivamente nelle rette V(y) e V(x). La famiglia di
sottoinsiemi τ1 ∪ τ2 della varietà algebrica V(xy), dove
τ1 := {A ∪ B : A è un aperto di X, B è un aperto di Y , A 63 (0, 0) 6∈ B};
τ2 := {A ∪ B : A è un aperto di X, B è un aperto di Y , A 3 (0, 0) ∈ B};
(a) non è una topologia di V(xy);
(b) è una topologia di V(xy), ma non è di Haudorff;
(c) è la topologia di V(xy) come sottospazio di E2 ;
(d) è una topologia in cui ogni punto di V(xy) ha un intorno omeomorfo ad un
aperto di E1
Soluzione. τ1 ∪ τ2 è la topologia indotta da E2 in V(xy) e (0, 0) è un punto che
non ha in questa topologia un intorno omeomorfo ad un aperto di E1 .
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