Programma di Geometria 3
a.a. 2015/2016
Prof. G. Bini, Prof. O. Rizzo.
Elementi di Topologia generale
Spazi topologici. Aperti e chiusi. Base di uno spazio topologico e sua caratterizzazione.
Confronto fra topologie. Topologia di Zariski sullo spazio affine complesso. Topologia
cofinita. Richiami sugli spazi metrici. La topologia indotta da una metrica: esempi. Proprietà
della topologia indotta da una metrica. Spazi topologici non metrizzabili: un esempio.
Interno, chiusura, frontiera, punti aderenti, intorno, insiemi densi e loro caratterizzazione.
Definizione di sistema fondamentale di intorni.
Applicazioni continue fra spazi topologici e loro caratterizzazione. La composizione di
applicazioni continue è continua. Omeomorfismi: definizione e proprietà. Applicazioni
aperte e chiuse. Esempi di applicazioni aperte ma non continue, chiuse ma non continue.
Un’applicazione chiusa (aperta) e biunivoca è un omeomorfismo. La nozione di
omeomorfismo introduce una relazione di equivalenza sulla categoria degli spazi topologici.
Sottospazi e immersioni. La topologia di sottospazio: aperti e chiusi e prime proprietà.
Definizione di immersione topologica. Immersioni chiuse e immersioni aperte.
Prodotti topologici. La topologia prodotto e le proiezioni. La base canonica della topologia
prodotto. Esempi di topologie prodotto.
Assiomi di separazione. Spazi T2, T1, T0 e relazioni fra di essi. Definizione di spazi T 3, T4.
Proprietà degli spazi di Hausdorff. Caratterizzazione di uno spazio di Hausdorff mediante la
diagonale del prodotto dello spazio e applicazioni.
Connessione. Definizioni e loro equivalenze. Esempi. L’immagine di un connesso mediante
una funzione continua è connesso. L’intervallo [0,1] è connesso nella topologia euclidea.
Spazi connessi per archi. Uno spazio connesso per archi è connesso. Controesempi. L’unione
di connessi a intersezione non vuota è connesso. Insieme convessi. Ogni sottoinsieme
connesso della retta euclidea è un intervallo. La contro-immagine di un insieme connesso,
mediante un’applicazione continua, suriettiva e aperta (chiusa) a fibre connesse, è
connesso. Il prodotto di due spazi topologici connessi è connesso. Componenti connesse. La
chiusura di un connesso è connessa. Ogni spazio topologico è unione delle sue componenti
connesse, che sono chiuse. Le componenti connesse di uno spazio topologico sono aperte
se ogni punto dello spazio ammette un intorno connesso. Il numero di componenti connesse
è un invariante per omeomorfismo.
Compattezza. Ricoprimenti aperti, chiusi, localmente finiti; sotto-ricoprimenti. Definizione
di compattezza. Esempi e controesempi. L’immagine di un compatto mediante
un’applicazione continua è compatto. L’intervallo [0,1] della retta euclidea è un sottospazio
compatto. Ogni sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto. Un sottospazio della
retta euclidea è compatto se, e solo se, è chiuso e limitato. La pre-immagine di uno spazio
compatto, mediante un’applicazione a fibre compatte, è compatto. Il teorema di Wallace
(solo enunciato). Ogni sottospazio compatto di uno spazio topologico di Hausdorff è chiuso.
Il prodotto di due compatti è compatto. Un sottospazio dello spazio reale euclideo è
compatto se, e solo se, è chiuso e limitato. Un’applicazione biunivoca e continua da uno
spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è un omeomorfismo.
Quozienti topologici. Topologia quoziente. Definizione di identificazione, identificazione
aperta (chiusa). Lo spazio quoziente ottenuto collassando un sottospazio a un punto.
Incollamenti. Lo spazio quoziente di uno spazio di Hausdorff compatto è di Hausdorff se, e
solo, se la proiezione sul quoziente è chiusa. Alcuni esempi di quozienti: la sfera ndimensionale, il toro, la bottiglia di Klein, il nastro di Moebius. Cenni al teorema di
classificazione delle superfici. Quozienti ottenuti mediante l’azione di un gruppo su uno
spazio topologico. L’azione del gruppo additivo degli interi sulla retta euclidea e
l’omeomorfismo del quoziente con la circonferenza. Lo spazio proiettivo reale ndimensionale e le sue proprietà topologiche.
Elementi di Topologia algebrica.
Omotopia. Definizione di applicazioni omotopicamente equivalenti. Definizione di spazi
omotopi o aventi lo stesso tipo di omotopia. Spazi contraibili. La relazione di essere omotopi
è di equivalenza. Composizione di applicazioni omotopicamente equivalenti. Retrazioni,
retratti e retratti per deformazioni. Un retratto di deformazione in uno spazio topologico ha
lo stesso tipo di omotopia dello spazio topologico. Esempi di retratti di deformazione e di
retratti che non sono retratti di deformazione.
Il gruppo fondamentale di spazi topologici puntati. Definizione e prime proprietà. Spazi
semplicemente connessi. Il gruppo fondamentale del prodotto. La dipendenza del gruppo
fondamentale dal punto base. Gruppi liberi. Generatori e relazioni di gruppi. Il teorema di
Seifert-van Kampen (solo enunciato). Applicazioni del teorema di Seifert-van Kampen. Il
gruppo fondamentale di una circonferenza e applicazioni.
Riferimenti bibliografici
M. Manetti, Topologia, 2° edizione, Springer, Milano
