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EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Le equazioni goniometriche si risolvono esattamente come tutte le altre equazioni
algebriche: l’unica differenza è che stavolta intervengono a complicare un po’ la questione
anche le leggi della trigonometria.
Si inizia col dire che l’incognita, in questo particolare tipo di equazione, è l’argomento di
una funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente….).
Vediamo come si risolvono caso per caso, partendo da quelli più semplici:
1) sen (x) = 1
Si vuole stabilire quanto vale l’angolo x. La domanda da farsi è dunque: qual è
l’angolo il cui valore del seno è pari a 1?
Dalla trigonometria si sa che hanno un seno pari ad 1 l’angolo π/2 e tutti i suoi
multipli.
Poiché per la funzione seno (come per il coseno) il periodo è pari a 2π, la soluzione
finale sarà così scritta:
x = π/2 + 2kπ
P.S. Per le funzioni trigonometriche in cui compaiono invece tangente e cotangente, è
necessario tener presente che queste hanno –a differenza di seno e coseno- un
periodo pari a π anziché 2π. La soluzione dunque avrà soluzione: x = ….+ kπ
2) sen (x) = √2/2
In questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè π/4. Tuttavia π/4 non è il solo
angolo ad avere un seno pari a √2/2: se si tiene presente la circonferenza
goniometrica si ricorderà facilmente che anche il suo supplementare ha lo stesso
valore per seno (e contrario per il coseno). La soluzione pertanto, in questo particolare
caso, sarà doppia.
Si scriverà dunque: x = π/4 + 2kπ e x = π - π/4 + 2kπ
REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una prima regola importante: per gli
angolo il cui seno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione goniometrica
ammette due soluzioni: un angolo ed il suo supplementare.
3) cos (x) = √2/2
Anche in questo caso x è pari ad un angolo di 45°, cioè π/4. Ed anche in questo caso
π/4 non è il solo angolo ad avere un coseno pari a √2/2: se si tiene presente la
circonferenza goniometrica si ricorderà che stavolta anche il suo contrario ha lo
stesso valore di coseno. La soluzione pertanto, sarà ancora una volta doppia.
Si scriverà dunque: x = π/4 + 2kπ e x = - π/4 + 2kπ
REGOLA: Tutto questo ci permette di stabilire una seconda regola importante: per gli
angolo il cui coseno (compreso tra 1 e –1) sia diverso da 1 o –1, l’equazione
goniometrica ammette due soluzioni: un angolo ed il suo contrario.
QUALCHE EQUAZIONE PIU’ COMPLESSA:
1) sen (A) = sen (B)
Due angoli hanno lo stesso seno se sono uguali o supplementari.
A = B + 2kπ
A = π - B + 2kπ
2) cos (A) = cos (B)
Due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali o opposti.
A = B + 2kπ
A = - B + 2kπ
3) tg (A) = tg (B) oppure ctg (A) = ctg (B)
Due angoli hanno la stessa tangente o cotangente solo se sono uguali.
A = B + kπ
4) sen (A) = cos (B)
Un angolo ha un valore del seno pari al valore del coseno di un altro angolo solo se i
due angoli sono complementari (cioè sommati l’uno all’altro danno π/2).
Si può dunque scrivere: sen (A) = sen (π/2 –B)
A = π/2 – B + 2kπ
FUNZIONI GONIOMETERICHE DELL’ARCO META’
1) sen (a) = sen 2 (a/2) = 2 sen (a/2) cos (a/2)
E’ poi possibile dividere questo valore ottenuto per un 1 “speciale”: sen²(a/2) +
cos²(a/2)
Ottenendo: 2 sen (a/2) cos (a/2)
sen²(a/2) + cos²(a/2)
A questo punto si divide tutto per cos²(a/2):
2 tg (a/2) → RISULTATO FINALE
tg²(a/2) + 1
2) cos(a) = cos 2 (a/2) = 2 cos² (a/2) - sen² (a/2)
Ancora una volta è possibile dividere questo valore ottenuto per un 1 “speciale”:
sen²(a/2) + cos²(a/2)
Ottenendo: 2 cos² (a/2) - sen² (a/2)
sen²(a/2) + cos²(a/2)
A questo punto si divide tutto per cos²(a/2):
1- tg² (a/2)
1+ tg²(a/2)
→ RISULTATO FINALE
Le restanti equazioni si determinano con gli stessi criteri:
3) tg(a) = tg 2 (a/2) =
2 tg (a/2) → RISULTATO FINALE
1- tg²(a/2)
4) cotg(a) = cotg 2 (a/2) =
1- tg² (a/2)
2 tg (a/2)
→ RISULTATO FINALE
Come si vede, per la cotangente si ottiene un risultato pari all’inverso di quello
ottenuto per la tangente.
P.S. Perché questi risultati siano utilizzabili, dal momento che al denominatore compare
la tangente, occorre sempre che:
a ≠ ± π/2
a ≠ π + kπ
FORMULE DI BISEZIONE:
1) cos(a) = cos 2 (a/2) = 2 cos² (a/2) – 1 oppure 1- 2 sen² (a/2)
SOLUZIONE 1: cos(a) = 2 cos² (a/2) – 1
[cos(a) +1]/2 = cos² (a/2) → cos(a/2) = ± √{ [cos(a/2) +1]/2}
SOLUZIONE 2: cos(a) = 1- 2 sen² (a/2)
[1- cos(a)]/2 = sen² (a/2) → sen(a/2) = ± √{ [1-cos(a/2)]/2}
Ulteriori informazioni, magari fornite dal problema stesso, potranno permettere poi di
stabilire se la soluzione sarà positiva o negativa.
2) tg(a/2) = sen (a/2) /cos (a/2)
E’ possibile a questo punto moltiplicare numeratore e denominatore per sen(a/2)
oppure per cos(a/2)
SOLUZIONE 1:
SOLUZIONE 2:
sen² (a/2)
cos(a/2) sen(a/2)
sen (a/2) cos (a/2)
cos²(a/2)
Ora, è possibile scrivere:
[sen (2a)]/2 =sen (a) cos (a) → [sen (a)]/2 =sen (a/2) cos (a/2)
Le due soluzioni diventano dunque:
SOLUZIONE 1:
SOLUZIONE 2:
sen² (a/2) = [1-cos(a)]/2 = 1-cos (a) x
2 = 1-cos (a)
[sen (a)]/2
[sen (a)]/2
2
sen(a)
sen(a)
[sen (a)]/2=
[sen (a)]/2 = sen (a) x
cos²(a/2)
[1+ cos(a)]/2
2
2 =
sen (a)
(1+ cos(a))
1+cos(a)
Per la cotangente il risultato sarà analogo, ma occorrerà considerare i reciproci di
questi valori.
Apparendo seno e coseno al denominatore, è ovvio che questi valori dovranno essere
di volta in volta condizionati.
CALCOLO SENO, COSENO, TANGENTE E COTANGENTE DEL DOPPIO DI UN
ANGOLO
FORMULA DI DUPLICAZIONE:
1) sen (2x) = sen (x + x) = sen(x)cos(x) + cos (x)sen (x) = 2 cos (x)sen(x)
2) cos (2x) = cos (x + x) = cos (x)cos (x) – sen (x)sen (x) = cos²(x) - sen²(x) = 1 - sen²(x) sen²(x) = 1 - 2sen²(x) oppure: cos²(x) –1 + cos²(x) = 2 cos²(x) -1
(QUESTO TESTO E' STATO INVIATO E PUBBLICATO ANCHE NELLA SEZIONE APPUNTI
DEL SITO "SKUOLA.NET").
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