1
Laurea in Matematica
Esercitazioni di Geometria 2 - 28 novembre 2013
1. Sia T la più fine topologia di R per cui (R, T ) è uno spazio topologico compatto.
Individuare l’affermazione falsa nell’ipotesi che T induca in R∗ la stessa topologia
indotta da quella euclidea:
(a) T è meno fine della topologia euclidea;
(b) ogni x ∈ R è un chiuso rispetto alla topologia T ;
(c) la topologia T è connessa;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: La topologia T che si sta considerando equivale alla compattificazione di Alexandrov di R∗ prendendo 0 come punto infinito. Pertanto gli
aperti di T sono gli aperti della retta euclidea che o risultano contenuti in R∗ ,
oppure contengono 0 ed hanno un complementare compatto: dunque esistono
aperti della topologia euclidea non compresi in T . Poiché una topologia meno
fine di una connessa è anch’essa connessa, si vede che anche l’affermazione (c)
è corretta. Infine la veridicità dell’affermazione (b) segue dal fatto che ogni
elemento di R∗ è un compatto in questo sottospazio euclideo (e quindi il suo
complementare in R è un aperto in T ), mentre 0 ha come complementare R∗ che
è anch’esso un elemento di T .
2. Si considerino il gruppo T = (x, y) 7→ (x + z, y) : z ∈ Z di traslazioni dello
spazio euclideo E2 ed il suo spazio di orbite X := E2 /T , cioè lo spazio quoziente
che si ottiene rendendo equivalenti due punti x e y di E2 quando esiste τ ∈ T
per cui si ha τ (x) = y. Tra i seguenti spazı̂ topologici:
(a) E × S1 ;
(b) il sottospazio di S2 che si sostiene nei punti 6= ±(0, 0, 1);
(c) T2 ;
(d) C∗ ;
individuare quello non omeomorfo ad X.
Soluzione: Si possono fare le seguenti considerazioni:
• l’applicazione (x, y) 7→ x, cos(2πy), sin(2πy) fornisce un’identificazione
E2 → E1 × S1 che permette di affermare che lo spazio di orbite E2 /T è
omeomorfo al ”cilindro” E1 × S1 ;
• la proiezione da (0, 0, 0) rende E1 × S1topologicamente
equivalente al sot
tospazio di S2 che ha sostegno in S2 \ ± (0, 0, 1) , uno spazio
topologico
2
notoriamente omeomorfo, via proiezione stereografica, a E \ (0, 0, 0) =
C∗ ;
• gli spazı̂ prima citati non sono compatti, mentre il toro T2 lo è.
2
3. Sia X lo spazio topologico avente sostegno in R ed i cui chiusi sono, oltre ad
R e ∅, tutti e soli i sottoinsiemi di cardinalità finita di R. Tra le seguenti affermazioni, riguardanti il sottospazio √
Y dello spazio topologico prodotto X × X
avente sostegno in {(x, y) ∈ R2 : x 6= 2} , individuare quella falsa:
(a) Y è connesso;
(b) Y è compatto;
(c) Q2 = Q × Q è denso in Y;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Y è compatto e connesso perché
prodotto topologico di X e del suo
√
sottospazio Z avente sostegno in R \ { 2}, ambedue spazı̂ compatti e connessi.
Infine Q2 è denso nello spazio topologico Y perché la topologia di Y è meno fine
di quella euclidea, una topologia che notoriamente rende Q2 denso.
4. Siano R una topologia su R, Z una topologia su Z ed f : (R, R) → (Z, Z) una
funzione continua. Individuare tra le seguenti eventualità quella compatibile con
i dati:
(a) R è la topologia euclidea, Z è la topologia discreta ed |f (R)| > 1;
(b) R = R, ∅ ∪ (−∞, x [ : x ∈ R , Z = Z, ∅ ∪ An : n ∈ Z con An =
{x ∈ Z : x ≤ n} ed f è suriettiva;
(c) R è la topologia avente per chiusi i sottoinsiemi di cardinalità finita, Z è la
topologia discreta ed f è suriettiva;
(d) R = R, ∅ ∪ (−∞, x [ : x ∈ R , Z è la topologia avente per chiusi i
sottoinsiemi di cardinalità finita ed 1 < |f (R)| < ∞.
Soluzione: Le eventualità (a), (c) e (d) sono senz’altro da scartare perché
presentano lo spazio (R, R) connesso ed il sottospazio f (R) di (Z, Z) totalmente
sconnesso. L’eventualità (b) è invece effettivamente realizzabile: basta prendere
per f la funzione che associa ad un numero reale x la sua parte intera bxc; infatti
f −1 (An ) = (−∞, n + 1[ per ogni n ∈ Z.
5. Individuare l’affermazione corretta per una funzione f : Sm → En continua e
suriettiva:
(a) f è un’identificazione solamente se m < n;
(b) f è un’identificazione solamente se m = n;
(c) f è un’identificazione solamente se m > n;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. Poiché Sm è compatto e En è di Hausdorff, f è in ogni caso una
funzione chiusa, quindi un’identificazione.
3
6. Si consideri sulla sfera S2 la relazione d’equivalenza
x ∼ y ⇐⇒ y = g(x) per qualche rotazione g attorno alla retta x = y = 0.
Lo spazio quoziente X := S2 /∼ è omeomorfo a:
(a) D1 ;
(b) S1 ;
(c) RP2 ;
(d) D2 .
Soluzione: Le classi d’equivalenza sono i paralleli di latitudine ed i due poli, per
cui la proiezione continua π3 : (x1 , x2 , x3 ) 7→ x3 induce una biiezione f : X → [−1, 1]
tale che f ◦ π = π3 , avendo indicato con π la proiezione naturale S2 → X. Poiché
π3 è continua, anche f è continua. Ma una funzione continua tra uno spazio
compatto ed uno spazio di Hausdorff è anche chiusa, quindi f è un omeomorfismo.
