Modulo di Topologia

A. A. 2007-08 - ESAME DI PROFITTO DI GEOMETRIA 2 - aprile 2008
Modulo di Topologia
1. Si consideri sulla sfera S2 la relazione d’equivalenza
x ∼ y ⇐⇒ y = g(x) per qualche rotazione g attorno alla retta x1 = x2 = 0.
Lo spazio quoziente S2 /∼ è omeomorfo a:
(a) I;
(b) S1 ;
(c) P2 (R);
(d) P1 (C).
Soluzione: Le classi d’equivalenza sono i paralleli di latitudine ed i due
poli, per cui la proiezione continua π3 : (x1 , x2 , x3 ) 7→ x3 induce una
biiezione f : S2 /∼ −→ [−1, 1] tale che f π = π3 , avendo indicato con
π la proiezione naturale S2 −→ S2 / ∼. Poiché π3 è continua, anche f
è continua. Ma una funzione continua tra uno spazio compatto ed uno
spazio di Hausdorff è anche chiusa, quindi f è un omeomorfismo.
2. Si considerino il gruppo speciale unitario di dimensione 2, cioè il gruppo
di matrici complesse
½µ
¶
¾
a b
SU2 =
: a, b ∈ C, kak + kbk = 1 ,
−b a
ed il gruppo PSU2 di proiettività della retta proiettiva complessa P1 (C)
determinato da SU2 . Individuare tra le seguenti affermazioni l’unica che
risulta falsa:
(a) SU2 è omeomorfo alla sfera S3 ;
(b) SU2 è omeomorfo al gruppo lineare GL2 (R);
(c) PSU2 è omeomorfo allo spazio proiettivo reale P3 (R);
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione: Una matrice di SU2 può essere scritta come
µ
¶
a1 + ia2 b1 + ib2
−b1 + ib2 a1 − ia2
con a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R e a21 + a22 + b21 + b22 = 1. Si vede cosı̀ che SU2 è
omeomorfo ad S3 . L’unica matrice 6= I2 di SU2 che produce l’identità su
P1 (C) è
µ
¶
−1 0
−I2 =
,
0 −1
per cui PSU2 = SU2 /h−I2 i, ovvero PSU2 equivale allo spazio quoziente
ottenuto identificando su S3 punti antipodali, cioè PSU2 ' P3 (R). Infine
si noti che non può esistere un omeomorfismo tra SU2 ' S3 e GL2 (R)
perché il primo spazio è connesso mentre GL2 (R) non lo è (il determinante
fornisce una funzione continua GL2 (R) → R∗ e quest’ultimo spazio ha due
componenti connesse, i reali positivi ed i reali negativi).
3. Individuare tra le seguenti topologie della retta reale l’unica che rende
continua la funzione f : R → R, x 7→ |x|:
(a) la topologia avente per base gli intervalli ]a, b];
(b) la topologia avente per base le semirette (−∞, a];
(c) la topologia avente per base le semirette (a, +∞);
(d) la topologia avente per chiusi i sottoinsiemi di R di cardinalità finita.
Soluzione: Considerato che ogni semiretta
(−∞,¢ a] è un aperto
¡
Ssia nella
−1
topologia
(a)
che
nella
(b)
e
che
si
ha
f
(a,
+∞
)
=
(−∞,
−a)
(a, +∞)
¡
¢
e f −1 (−∞, 0 ] = { 0}, mentre l’insieme delle pre-immagini di n numeri
reali ha cardinalità ≤ 2n, si può concludere che l’unica topologia che rende
continua la funzione data è la (d).
4. Si consideri su R la topologia
n
o[n
o
T = ∅, R
A ⊂ R : A ∩ Z = ∅ oppure A ∩ Z = {0} .
Denotati con Q◦ , Q, F(Q), D(Q) e c Q, rispettivamente, la parte interna,
la chiusura, la frontiera, l’insieme dei punti di accumulazione ed il complementare di Q, individuare l’affermazione corretta:
(a) Q◦ = {0};
(b) Q = R;
(c) F(Q) = Z \ {0};
(d) D(Q) = c Q.
¡
¢
Soluzione: Poiché ogni singolo punto di R\Z ∪{0} è un aperto e l’unico
aperto contenente elementi di Z \ {0} è tutto R, si può concludere che:
• 0 ed ogni numero razionale non intero sono interni a Q, mentre ogni
intero non nullo non lo è;
• nessun numero irrazionale è d’accumulazione per Q;
• ogni intero, con l’eccezione di 0, è d’accumulazione sia per Q che per
il suo complementare, mentre i rimanenti numeri razionali rimangono
dei punti isolati.
Pertanto si ha Q◦ = {0} ∪ (Q \ Z), Q = Q e F(Q) = D(Q) = Z \ {0}.
5. Individuare tra i seguenti sottospazi dello spazio topologico euclideo E3
l’unico omeomorfo ad S1 :
(a) {(cos 2πt, sin 2πt, t) : t ∈ [0, 1]}
(b) {(cos 2πt, sin 2πt, t2 − t) : t ∈ [0, 1]}
(c) {(cos 2πt, sin 2πt, t2 + 1) : t ∈ [0, 1]}
(d) {(cos 2πt, sin 2πt, t2 − 2t + 1) : t ∈ [0, 1]}
Soluzione: Ciascuno dei sottospazi indicati risulta essere immagine di
una funzione continua ϕ : [0, 1] → E3 . In particolare, ϕ è iniettiva per
i sottospazi (a), (c) e (d), mentre per il sottospazio (b) lo è solo su [0, 1[
(si ha ϕ(0) = ϕ(1) = (1, 0, 0)). Tenuto conto che una funzione continua
tra uno spazio compatto ed uno spazio di Hausdorff è anche chiusa, possiamo senz’altro concludere che ciascuno dei sottospazi (a), (c) e (d) è
omeomorfo all’intervallo [0, 1], mentre il sottospazio (b) è omeomorfo allo
spazio quoziente ottenuto identificando in [0, 1] i punti 0 ed 1.
6. Sia T la topologia più fine della retta reale che rende R compatto e che induce in R\{0} la toplogia euclidea. Individuare tra le seguenti affermazioni
l’unica che risulta falsa:
(a) T è meno fine della topologia euclidea;
(b) ogni x ∈ R è un chiuso rispetto alla topologia T ;
(c) la topologia T è connessa;
(d) una delle precedenti affermazioni non è corretta.
Soluzione: La topologia T che si sta considerando equivale alla compattificazione di Alexandrov di R \ {0} prendendo 0 come punto ”infinito”.
Pertanto gli aperti di T sono gli aperti della retta euclidea che o risultano
contenuti in R \ {0}, oppure contengono 0 ed hanno un complementare
compatto: dunque esistono aperti della topologia euclidea non compresi
in T . Poiché una topologia meno fine di una connessa è anch’essa connessa, si vede che anche l’affermazione (c) è corretta. Infine la veridicità
dell’affermazione (b) segue dal fatto che ogni elemento di R \ {0} è un compatto in questo sottospazio euclideo (e quindi il suo complementare in R è
un aperto in T ), mentre 0 ha come complementare R \ {0} che è anch’esso
un elemento di T .