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FORMULE DI INTEGRAZIONE
INDEFINITA PER SOSTITUZIONE
Siano I ⊆ R un intervallo ed f : I → R una funzione continua. Siano poi
J ⊆ R un altro intervallo e ϕ : J → I una funzione derivabile e continua con la
sua derivatain J : in breve ϕ ∈ C 1 (J). Cosı̀ le funzione J ∋ x → f ϕ(x) e J ∋
x → f ϕ(x) ϕ′ (x) sono anch’esse continue perchè , rispettivamente, composizione
e prodotto di funzioni continue.
PRIMA FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE:
(IS1)
Z
J
f ϕ(x) ϕ′ (x) dx =
Z
f (y) dy
I
y= ϕ(x)
La verifica della validità della (IS1) è pressochè immediata considerando che se F è una
`
´
primitiva della f in I, cioè F ′ (y) = f (y) per ogni y ∈ I, allora la funzione J ∋ x → F ϕ(x)
appartiene evidentemente per definizione al secondo membro; inoltre, derivandola, si ha
ˆ `
´˜′
`
´
`
´
F ϕ(x)
= F ′ ϕ(x) ϕ′ (x) = f ϕ(x) ϕ′ (x) per ogni x ∈ J, avendo fatto uso della
formula di derivazione delle funzioni composte: dunque, a norma di definizione, essa
appartiene anche al primo membro.
Aggiungiamo adesso l’ulteriore ipotesi che la ϕ sia iniettiva (dunque strettamente
crescente oppure strettamente decrescente in J); in tal caso dal teorema di derivazione della funzione inversa di una data funzione invertibile e derivabile, sappiamo
che anche la funzione I ∋ y → ϕ−1 (y) risulta derivabile in I.
SECONDA FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE:
(IS2)
Z
J
f ϕ(x) ϕ′ (x) dx
x= ϕ−1 (y)
=
Z
f (y) dy
I
La verifica della validità della (IS2) è una immediata conseguenza della (IS1): basta
porre nella (IS1) la ϕ−1 (y) al posto della x.
Esempio. Vediamo
come si applicano in concreto le due formule. Si voglia calR
colare per esempio x dx
ln x . Per non appesantire il ragionamento, dichiariamo subito
che, in accordo alle notazioni di cui sopra, f (y) = y1 , per ogni y ∈ I =] − ∞, 0[
oppure per ogni y ∈ I =]0, +∞[, ϕ(x) = ln x ristretta rispettivamente all’intervallo J =]0, 1[ o J =]1, +∞[, e di conseguenza ϕ−1 (y) è l’inversa della restrizione di
ϕ rispettivamente all’intervallo J =]0, 1[ o J =]1, +∞[, cioè ϕ−1 (y) = ey ristretta
rispettivamente a I =]−∞, 0[ o I =]0, +∞[. Nel seguito del ragionamento ometteremo di specificare l’intervallo di pertinenza, puntando l’attenzione sulla modalità di
applicazione delle formule.
Applichiamo la (IS1). Come suggerisce il secondo membro, poniamo y = ln x;
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da questa, utilizzando il simbolismo dei differenziali, otteniamo dy
dx = x , ovvero
R dx
dx
dx
dy = x ; nell’integrale indefinito x ln x , sostituiamo
h R xi con dy e ln x con y : la
dy
(IS1) ci dice cosı̀ che l’integrale indefinito diventa
ovvero, essendo un
y
y=ln x integrale indefinito immediato, l’insieme delle funzioni del tipo ln |y| y= ln x + c =
c
2007
Author: Andrea O. Caruso – Date: 28 ottobre 2007
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FORMULE DI INTEGRAZIONE INDEFINITA PER SOSTITUZIONE
ln | ln x| + c, con c costante reale.
Applichiamo ora la (IS2). Come suggerisce il primo membro, poniamo x = ey ;
dx
da questa, utilizzando il simbolismo dei differenziali, otteniamo dy
= ey , ovvero
R
dx
y
y
dx = ey dy; nell’integrale
x ln x , sostituiamo dx con e dy e x con e :
i
h Rindefinito
R
R
y
dy
dx
= eeydy
la (IS2) ci dice cosı̀ che
x ln x
y =
y ; quest’ultimo, essendo un
x= ey
integrale indefinito immediato, è esattamente l’insieme ln |y|+c; per calcolare l’integrale di partenza basta dunque sostituire la y con ln x, ed ottenere di nuovo, come
nel caso precedente, l’insieme delle funzioni del tipo ln | ln x| + c, con c costante
reale.
Osservazione. La (IS2), nell’ipotesi ulteriore che la ϕ sia invertibile, è di fatto,
dal punto di vista strettamente teorico, equivalente alla (IS1); nella pratica tuttavia
uno dei due integrali indefiniti potrebbe risultare più laborioso da calcolare dell’altro. Va da se che se la funzione ϕ non è invertibile nell’intervallo di integrazione, la
(IS1) resta l’unica formula da poter eventualmente applicare.
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