Il calcolo FK4 B1950.0
della precessione delle stelle
Mario Codebò
(Archeoastronomia Ligustica)
http://www.archaeoastronomy.it
[email protected]
Si descrive qui l’algoritmo per il calcolo della posizione apparente di una stella ad una
determinata data - in Archeoastronomia quasi sempre nel passato più o meno remoto - partendo
dalle sue coordinate per un’epoca standard (per es. il 1900, il 1950, il 2000 o, prossimamente, il
2050)1.
Tali coordinate sono:
1) l’ascensione retta α, comunemente espressa in unità sessagesimali del tempo (ore h, minuti m
e secondi s);
2) la declinazione δ, espressa in unità di gradi sessagesimali di circonferenza (arcogradi °,
arcoprimi ’ e arcosecondi ”);
3) il moto proprio in ascensione retta mpα espresso in secondi di tempo s per anno;
1
Per epoca standard s’intende una data particolare nella quale vari parametri astronomici sono stati misurati
direttamente (e non calcolati) e sono utilizzati nei calcoli come riferimento fisso da cui partire.
4) il moto proprio in declinazione mpδ in secondi di circonferenza ” per anno.
Come vedremo fra poco, a queste quattro coordinate fondamentali si possono aggiungere, per
ottenere una maggiore precisione di calcolo dei moti propri, le seguenti:
5) la distanza in parsec2 r;
6) la velocità radiale ∆r in parsec per anno col segno proprio + o -.
Queste coordinate si possono reperire sui cataloghi stellari, la maggior parte dei quali sono oggi
rintracciabili su Internet. Uno, con note storiche, è visibile sul sito:
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/astronomical_catalogues.html .
Il migliore servizio di banca-dati astronomici è sul sito http://cdsweb.u-strasbg.fr/ del Centre de
Donées Astronomiques de Strasbourg. Da qui si può accedere ai tre servizi Sinbad, VizieR e
Aladin, nonché ad un ricchissimo elenco di cataloghi e banche dati (http://vizier.ustrasbg.fr/cats/cats.html). Si tratta però di un sito non facilmente gestibile.
Due siti utili sono: quello dello United States Naval Observatory U.S.N.O.
(http://ad.usno.navy.mil/star/) e quello dello Smithsonian Astrophysical Observatory S.A.O.
(http://heasarc.gsfc.nasa.gov/W3Browse/star-catalog/sao.html, poi link a sinistra in alto: browse
this table).
Un altro sito di facile consultazione è http://www.alcyone.de/SIT/bsc/index.html dove, nel
Bright Star Catalogue 5th ed. 1991, si troverà l’elenco di tutte le 88 costellazioni in cui la
International Astronomical Union I.A.U. suddivise il cielo nel 1933. Entrando in quella che
interessa, si ottiene un elenco delle stelle, numerate secondo vari cataloghi, che ne fanno parte e
cliccando sul numero all’estrema sinistra si apre una pagina con i link di alcuni di essi. Cliccando
su quello dello S.A.O. si otterranno i parametri di quella particolare stella sia per il 2000 che per
il 1950, mentre cliccando sugli altri si otterranno i parametri del 2000 e del 1900.
Nel calcolo della posizione di una stella si prendono in considerazione tre date (espresse in giorni
giuliani delle effemeridi3 JD):
1) la data di partenza, ossia la data a partire dalla quale si vogliono effettuare i calcoli (per
es. la data odierna);
2) la data dell’epoca standard prescelta (B1900.0, B1950.0, J2000.0, J2050.0, ecc.);
3) la data di arrivo, ossia la data, più o meno lontana nel tempo, per la quale si vogliono
calcolare le coordinate della stella.
2
Parsec è un’unità di misura astronomica corrispondente alla distanza dalla quale la Terra ed il Sole apparirebbero
separati da un angolo di 0°00’01”. E’ uguale a 3,2616 anni-luce, cioè km 0,0030857 * 1016 (Gribbin 1998, p. 368)
ed a 206265 Unità Astronomiche UA (Smart 1977, p. 223). Una UA corrisponde alla lunghezza del semiasse
maggiore dell’orbita terrestre (Smart 1977, p. 101), ovvero (Gribbin 1998, p. 545) alla distanza media Terra-Sole nel
corso dell’anno, pari a km 149.597.870.
3
Com’è noto, la numerazione in giorni giuliani fu introdotta nel 1582 da Jean Joseph Scaligero. E’ una sequenza
ininterrotta di giorni a partire dalle ore 12:00:00 di Greenwich (UT) del 01/01/4713 a. C.. La specificazione “delle
effemeridi” indica che si tratta di un tempo uniforme o dinamico DT, cioè scandito dagli orologi atomici e non
soggetto alle variazioni del moto della Terra, come accade invece al tempo universale UT. Per una disamina
dettagliata di questi argomenti si vedano Meeus 2005, capp. 7 e 10 e Pannunzio 2002.
2
La lettera B o J premessa all’anno indica che quest’ultimo è, rispettivamente, l’anno besseliano o
l’anno giuliano. L’anno besseliano, utilizzato fino al 1984 e di lunghezza uguale all’anno tropico
(pari a 365,2421988 giorni nel 1900 d. C., secondo Newcomb), incominciava nell’istante in cui
la longitudine media del Sole, affetta dall’aberrazione (pari a -0°00’20,5”) e misurata
dall’equinozio medio della data, era esattamente 280°00’00,00”. Tale istante è sempre molto
vicino all’inizio dell’anno civile gregoriano. I cataloghi stellari relativi agli anni B1900.0 e
B1950.0 appartengono al Fundamental Katalog 4 o FK4.
L’anno giuliano cominciò ad essere utilizzato a partire dal 1984 per decisione dell’International
Astronomical Union UAI. Dura 365,25 giorni esatti e comincia sempre alle ore UT 12:00:00 del
01/01 di ciascun anno. I cataloghi stellari relativi all’anno J2000.0 appartengono al Fundamental
Katalog 5 o FK5.
Lo 0 dopo il punto nella numerazione dell’anno indica l’inizio dell’anno stesso, sia che si tratti di
anno besseliano che di anno giuliano. Espresse come sopra ed in giorni giuliani, le date d’inizio
degli anni B1900.0, B1950.0, J2000.0 e J2050.0 sono, rispettivamente: JD 2415020,3135 (=
01/01/1900 UT 19:31:26); JD 2433282,4235 (= 01/01/1950 UT 22:09:50); JD 2451545,00 (=
01/01/2000 UT 12:00:00); JD 2469807,00 (= 01/01/2050 UT 12:00:00).
Oltre all’uso dell’anno besseliano o giuliano esistono altre differenze tra FK4 e FK5 ed è
possibile utilizzare l’algoritmo di calcolo previsto per il sistema FK5 con le coordinate del
sistema FK4 apportando tre correzioni (Meeus 2005, pp. 139-140).
In questo articolo prenderemo in considerazione le coordinate della sola epoca standard
dell’anno B1950.0, che appartengono al Fundamental Katalog 4 o FK4.
Il metodo di seguito descritto è quello classico di Newcomb, preciso anche per distanze di tempo
relativamente lunghe, ma comunque non utilizzabile per più di alcuni millenni dal presente (per
es., dà risultati assolutamente errati per 30000 anni dal presente!).
Precessione degli equinozi e moto proprio danno la posizione media delle stelle.
Poiché invece in Archeoastronomia generalmente occorre conoscerne la posizione apparente, è
necessario calcolare i seguenti altri effetti:
1) la nutazione;
2) l’aberrazione annua della luce;
3) la parallasse annua.
La nutazione è un piccolo movimento periodico dell’equatore celeste dovuto alla forza
gravitazionale della Luna.
L’aberrazione annua è un fenomeno relativistico della luce che sposta l’immagine della stella.
La parallasse annua, sempre inferiore a 0°00’00,8” per tutte le stelle visibili ad occhio nudo
tranne tredici (Meeus 1988 p. 72 e 2005, p. 150), può essere trascurata nei calcoli
archeoastronomici.
Per la dettagliata descrizione di questi tre fenomeni si rinvia a Smart 1977, capp. VIII-X, ed a
Zagar 1984, capp. VII-IX.
3
In conclusione, la procedura per calcolare le coordinate di una stella in un tempo diverso
dall’attuale sono, nell’ordine di esecuzione, le seguenti:
1) calcolo del moto proprio;
2) calcolo della precessione;
3) calcolo della nutazione;
4) calcolo dell’aberrazione annua.
Di seguito si descrive l’algoritmo completo per l’epoca standard B1950.0 ed il sistema FK4
secondo Meeus 1988 e 1990, capp. 14, 15, 16 e 18 con alcune modifiche, rinviando ad altri
prossimi lavori la descrizione degli algoritmi FK4 B1900.0 e FK5 J2000.0.
Presi dagli almanacchi cartacei o sul web α e δ della stella per il 1950, si trasformano in un’unica
unità di misura, in genere in gradi sessagesimali moltiplicando per 15 la misura in tempo di α.
Poi si calcola la differenza di tempo T in secoli tropici tra la data di arrivo JD0 e la data
dell’epoca standard B1950.0:
T = (JD0 - 2433282,42354) / 36524,21995.
Poi si calcolano le variazioni di α e δ per effetto dei moti propri. Per fare ciò innanzitutto si
moltiplica la differenza di tempo T in secoli tropici per 100 e si ottiene la differenza di tempo in
anni tropici, si moltiplica tale differenza di tempo in anni tropici per i moti propri della stella in α
e δ e si sommano a questi prodotti i valori iniziali di α e δ dati dagli almanacchi per l’epoca
standard del B1950.0:
α0 = α + (T * 100) * mpα
δ0 = δ + (T * 100) * mpδ.
Se gli almanacchi consultati riportano anche la distanza in parsec r e la velocità radiale ∆r in
parsec per anno6 col segno proprio + o -, si possono calcolare con precisione maggiore,
4
Questo è l’istante del giorno giuliano in cui comincia l’anno besseliano 1950, cioè B1950.0. Fino al 1984 i
cataloghi stellari davano le posizioni delle stelle nelle epoche standard all’inizio dell’anno besseliano. L’anno
besseliano inizia nell’istante in cui la longitudine media del Sole, affetta dall’aberrazione (pari a -20,5”) e misurata
dall’equinozio medio della data, è esattamente 280°00’00”. Questo “istante” è sempre prossimo all’inizio dell’anno
civile gregoriano (cioè al 01/01). La lunghezza dell’anno besseliano è uguale a quella dell’anno tropico:
365,2421988 giorni (Smart 1977, p. 132; Zagar 1984, p. 117). Nel 1900 la sua data d’inizio fu calcolata da
Newcomb al 31/12/1899 UT 19h 31m 26,4s (cioè, espresso in giorni giuliani, JD 2415020,3135). Nel 1950 la data
d’inizio dell’anno besseliano fu il 31/12/1949 UT 22h 09m 50,4s (cioè, espresso in giorni giuliani, 2433282,4235).
Si rammenti che il giorno giuliano JD comincia sempre alle ore UT 12h 00m 00s e che quindi il segno, 0 posto dopo
la cifra indicante il JD indica tale ora, mentre la mezzanotte - cioè 12 ore dopo l’inizio del JD - è indicata con il
segno, 5. Si rammenti infine che il primo giorno giuliano fu il 01/01/4713 a. C. UT 12h 00m 00s (JD 1,0) secondo
Jean Joseph Scaligero che nel 1582 inventò (e dedicò a suo padre Julius Scaligerus) questa numerazione (detta
Periodo Giuliano), tutt’oggi usatissima in astronomia, nel XVI secolo. Un Periodo Giuliano dura 7980 anni ed è
formato da 2914695,0 JD perché è il prodotto di un ciclo lunare di 19 anni, di un ciclo solare di 28 anni e di
un’indizione di 15 anni (19 * 28 * 15 = 7980). Secondo J. J. Scaligero l’inizio dei tre cicli coincise alla data del
01/01/4713 a. C.: per questo motivo egli la scelse come inizio del Periodo da lui creato. La sua comodità nel calcolo
astronomico consiste nel fatto che è una sequenza ininterrotta di giorni indipendente dalla conversione reciproca
delle date dei vari calendari, tale quindi da semplificare enormemente la datazione degli eventi.
5
36524,2199 sono i giorni, con frazioni di tempo, presenti in un secolo tropico.
6
Questi parametri sono sempre dati nel sistema FK5, ma non nel sistema FK4.
4
soprattutto per notevoli distanze di tempo, gli effetti dei moti propri della stella, procedendo nel
seguente modo7:
α = ascensione retta all’epoca iniziale
δ = declinazione all’epoca iniziale
r = distanza in parsec
∆r = velocità radiale in parsec all’anno
mpαr = moto proprio α radianti all’anno
mpδr = moto proprio δ radianti all’anno
t = numero di anni dall’epoca di partenza a quella di arrivo, negativo nel passato e positivo nel
futuro8
x = r * cos δ * cos a
y = r * cos δ * sen a
z = r * sen δ
∆x = (x / r) * ∆r - z * mpδr * cos α - y * mpαr
∆y = (y / r) * ∆r - z * mpδr * sen α + x * mpαr
∆z = (z / r) * ∆r + r * mpδr * cos δ
x1 = x + t * ∆x
y1 = y + t * ∆y
z1 = z + t * ∆z
tan α0 = y1 / x1
tan δ0 = z1 / √(x12 + y12).
Si procede poi a calcolare gli effetti della precessione, della nutazione e dell’aberrazione annua
della luce come già descritto sopra.
Poi si calcola l’effetto della precessione degli equinozi con le formule rigorose di Newcomb:
7
Di questo metodo non si dà qui un esempio numerico, che sarà invece dato in un futuro articolo descrivente il
calcolo FK5 J2000.0.
8
C’è differenza tra T e t: T è un JD, mentre t è un numero di anni.
5
ζ = 0°00’2304,948” * T + 0°00’00,302” * T² + 0°00’00,018” * T³;
z = 0°00’2304,948” * T + 0°00’01,093” * T² + 0°00’00,019” * T³;
θ = 0°00’2004,255” * T - 0°00’00,426” * T² - 0°00’00,042” * T³.
Poi si calcolano:
A = cos δ0 * sin (α0 + ζ);
B = cos θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) - sin θ * sin δ0;
C = sin θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) + cos θ * sin δ0;
tan (α1 - z) = (A / B);
sin δ1 = C.
Poiché la tangente di un angolo è la stessa rispettivamente nei quadranti I e III nonché II e IV,
per calcolare tan (α1 - z) e collocarla nel quadrante esatto si può procede in due modi:
1) se il denominatore di A / B è minore di 0 (B < 0) al risultato di A / B si aggiungono 180°; se
invece esso è maggiore di 0 (B > 0) non si aggiunge nulla e il risultato è già la tangente
nell’angolo corretto;
2) si calcolano le coordinate polari di B / A (occorre invertire i fattori rispetto alla formula
originaria A / B), ottenendone due risultati, il secondo dei quali è quello cercato. Le calcolatrici
scientifiche hanno un apposito tasto che trasforma le coordinate rettangolari in polari: pol (B; A)
e due specifiche memorie dove sono immagazzinati i due risultati9. Se tale secondo risultato
fosse negativo, lo si somma algebricamente a 360°, ottenendo così il corretto valore positivo.
Es.:
1a) tan (α1 - z)
112°31’31,3”;
= 1,0405017 / -0,4315299 = -67,47462466 + 180° = 112,5253753° =
1b) tan (α1 - z) = 1,0405017 / -0,4315299 = pol (-0,4315299; 1,0405017) = 112,5253753° =
112°31’31,3”;
2a) tan (α1 - z) = 2,456 / 1,852 = 52,98108896° = 52°58’51,92”;
2b) tan (α1 - z) = pol (1,852; 2,456) = 52,98108896° = 52°58’51,92”.
Il risultato di tan (α1 - z) si aggiunge a z che è già noto. Il risultato è l’ascensione retta cercata.
Invece il calcolo sin δ1 = C non richiede alcuna trasformazione, essendo il risultato già la
declinazione cercata.
Si ottengono così l’ascensione retta α1 e la declinazione δ1 corrette per i moti propri e per la
precessione degli equinozi.
a)
9
Es.: arctan [(-0,177544568207 / -0,983403711782)]° + 180° = 190,233988273;
Es.: pol (-0,983403711782; -0,177544568207) = r 0,999302223577; θ -169,766011727;
360° + -169,766011727 = 190,233988273.
6
Ora si calcola l’effetto della nutazione.
Ottenuta la differenza di tempo in secoli giuliani dal 1950 con la formula
T = (JD - 2415020,0) / 3652510
si calcolano i seguenti parametri:
1) longitudine media del Sole L = 279,6967° + 36000,7689° * T + 0,000303° * T²;
2) longitudine media della Luna L1 = 270,4342° + 481267,8831° * T - 0,001133° * T²;
3) anomalia media del Sole M = 358,4758° + 35999,0498° * T - 0,000150° * T²;
4) anomalia media della Luna M1 = 296,1046° + 477198,8491° * T + 0,009192° * T²;
5) longitudine del nodo ascendente della Luna Ω = 259,1833° - 1934,1420° * T + 0,002078° *
T².
Ora si calcolano i valori della nutazione in longitudine ∆ψ e della nutazione in obliquità ∆ε, i cui
coefficienti sono qui scritti, per risparmio di spazio, in secondi sessagesimali con decimali (e nel
calcolo devono essere scritti in forma completa; per es.: 0,01737” = 0°00’00,01737”):
∆ψ = - (17,2327” + 0,01737” * T) * sen Ω - (1,2729” + 0,00013” * T) * sen (2L) + 0,2088” *
sen (2Ω) - 0,2037” * sen (2L1) + (0,1261” - 0,00031” * T) * sen M + 0,0675” * sen M1 (0,0497” - 0,00012” * T) * sen (2L + M) - 0,0342” * sen (2L1 - Ω) - 0,0261” * sen (2L1 + M1) +
0,0214” * sen (2L - M) - 0,0149” * sen (2L - 2L1 + M1) + 0,0124” * sen (2L - Ω) + 0,0114” *
sen (2L1 - M1)
∆ε = + (9,21” + 0,00091” * T) * cos Ω + (0,5522” - 0,00029” * T) * cos (2L) - 0,0904” * cos
(2Ω) + 0,0884” * cos 2L1 + 0,0216” * cos (2L + M) + 0,0183” * cos (2L1 - Ω) + 0,0113” * cos
(2L1 + M1) - 0,0093” * cos (2L - M) - 0,0066” * cos (2L - Ω).
Ora si calcolano le variazioni in ascensione retta α2 e in declinazione δ2 per effetto della
nutazione. Per fare ciò è necessario prima calcolare l’obliquità dell’eclittica ε con la formula di
Laskar:
U = T / 100
ε = 23°26’21,448” - 0°00’4680,93” * (T / 100) - 0°00’01,55” * (T / 100)² + 0°00’1999,25” * (T /
100)³ - 0°00’51,38” * (T / 100)4 - 0°00’249,67” * (T / 100)5 - 0°00’39,05” * (T / 100)6 +
10
Si noterà la differenza del giorno giuliano di riferimento in questa formula ed in quella, analoga, usata per il
calcolo della precessione vera a p. 3: là si è usato il giorno giuliano 2433282,4235 e qui il giorno giuliano
2415020,0. Questa differenza è data dal fatto che nella formula della precessione vera si parte dalla data del
01/01/1950, mentre in quella della nutazione dalla data 01/01/1900. Ciò introduce un piccolo errore che però,
essendo minimo l’effetto della nutazione, può essere per i nostri scopi trascurato. Per una maggiore correttezza
occorrerebbe calcolare anche la nutazione dalla data del 01/01/1950, ma Meeus non la fornisce nelle sue
pubblicazioni; anzi, nei suoi esempi, egli utilizza senza esitazione la precessione vera calcolata dal 1950 e la
nutazione dal 1900 (cfr. Meeus 1988, esempi 14b e 15a rispettivamente alle pp. 66-67 e 70 e Meeus 1990 , esempi
14.2 e 15.1 rispettivamente alle pp. 64-65 e 68. L’apparente incongruenza è causata dal fatto che io descrivo, per
semplicità, questo calcolo come partente dal 1950, mentre in effetti l’algoritmo originariamente descritto da
Newcomb parte dal 1900 e risale poi alle altre date, compreso il 1950. Per maggiore chiarezza dei lettori, cercherò di
presentare ad un prossimo congresso ALSSA l’intero algoritmo originale di Newcomb. Inoltre, la differenza tra
36524,2199 e 36525 è dovuta al fatto che i primi sono i giorni presenti in un secolo tropico, come già detto alla nota
n. 5 ed i secondi sono i giorni presenti in un secolo giuliano.
7
0°00’07,12” * (T / 100)7 + 0°00’27,87” * (T / 100)8 + 0°00’05,79” * (T / 100)9 + 0°00’02,45” *
(T / 100)10
poi si risolvono le seguenti formule:
α2 = (cos ε + sen ε * sen α1 * tan δ1) * ∆ψ - (cos α1 * tan δ1) * ∆ε
δ2 = (sen ε * cos α1) * ∆ψ + (sen α1) * ∆ε.
Ora si calcola longitudine vera del Sole (dal 01/01/1900 UT 12:00:00):
T = (JD - 2415020,0) / 3652511
1)
longitudine media geometrica del Sole L = 279,69668° + 36000,76892° * T +
0,0003025° * T²;
2)
anomalia media del Sole M = 358,47583° + 35999,04975° * T - 0,00015 * T² 0,0000033° * T³;12
3)
equazione del centro del Sole C = + (1,91946° - 0,004789° * T - 0,000014° * T²) * sen M
+ (0,020094° - 0,0001° * T) * sen (2M) + 0,000293° * sen (3M);
4)
longitudine vera del Sole Lv = L + C.
Ora si calcolano le variazioni in ascensione retta ∆α3 e declinazione ∆δ3 per effetto
dell’aberrazione annua della luce (ε è ancora l’obliquità dell’eclittica calcolata con la formula di
Laskar):
α3= -0°00’20,49” * [(cos α1 * cos L1 * cos ε + sen α1 * sen L1) / cos δ1]
δ3 = -0°00’20,49” * [cos L1 * cos ε * (tan ε * cos δ1 - sen α1 * sen δ1) + cos α1 * sen δ1 * sen L1].
Ora si hanno tutti i parametri necessari per calcolare la posizione apparente della stella α4 e δ4
all’epoca voluta sommando algebricamente le correzioni, rispettivamente:
α4 = α1 + α2 + α3
δ4 = δ1 + δ2 + δ3.
11
Cfr. nota n. 10, ultimo capoverso.
I lettori noteranno in questi calcoli della longitudine vera del Sole alcune differenze con le identiche formule usate
per calcolare la nutazione. Queste differenze riguardano la quarta e la quinta cifra decimale dei coefficienti
numerici. Ciò è dovuto al fatto che, come dice espressamente Meeus, il calcolo della longitudine vera del Sole per la
posizione apparente delle stelle va effettuato con un numero maggiore di decimali rispetto al calcolo della
longitudine media usato per il calcolo della nutazione. In generale si tenga presente che i calcoli astronomici vanno
eseguiti con un elevato numero di decimali, pena una precisione insufficiente nei risultati, e gli eventuali
arrotondamenti vanno fatti sul risultato finale dei calcoli. Nel suo libro Astronomical Algorithms Meeus dedica
l’intero secondo capitolo all’accuratezza da usare nei calcoli. Il problema non è posto soltanto dalle formule, ma
anche dalle macchine di calcolo usate: non sempre quest’ultime eseguono i calcoli con una precisione sufficiente, a
causa degli arrotondamenti che i software impongono loro. E’ bene dunque verificare l’accuratezza degli
arrotondamenti dei calcolatori usati, come descritto nel citato cap. II di Meeus 2005 (in cui sono date anche
procedure di verifica cui sottoporre i calcolatori usati), ed eseguire i calcoli con il massimo dei decimali significativi
consentiti. Attenzione però:
a) alla differenza che corre tra il numero dei decimali della mantissa usata per i calcoli e quello dei decimali
visualizzati sul display: è il numero dei decimali usato dalla mantissa del calcolatore che deve essere massimo (oltre
10 decimali)! Un calcolatore che esegua calcoli con una mantissa di 5-6 decimali soltanto non è sufficiente;
b) alla differenza che corre tra numero di decimali e numero di decimali significativi, cioè diversi da 0. Un
calcolatore che esegua calcoli con una mantissa di soli 6-8 decimali significativi non è sufficiente.
12
8
ESEMPIO NUMERICO
Si vuole calcolare la posizione apparente di Spica (α Virginis) all’equinozio di primavera del 350
d. C..
Con uno dei metodi descritti in Meeus 1990, cap. 20, od in Meeus 2005, cap. 27 si calcola la data
dell’equinozio di primavera dell’anno 350 d. C., corrispondente al 20/03/350 d. C. ore 13h 00m
17s UT.
Dal sito http://www.alcyone.de/SIT/bsc/index.html si ricava che le coordinate di Spica nel
1950.0, secondo il catalogo S.A.O., sono:
α = 13h 22m 33,301s
δ = -10°54’03,36”
mpα = -0h 00m 00,0029s
mpδ = -0°00’00,033”.
Poiché l’ascensione retta α è data in unità di tempo, la si riduce a gradi sessagesimali
moltiplicandola per 15:
α 13h 22m 33,301s * 15 = 200°38’19,51”.
Col metodo descritto in Meeus 1990, cap. 3, Meeus 2005, cap. 7, e Codebò 2010, si calcola il
giorno giuliano JD del 20/03/350 d. C.: ore 13h 00,28m ottenendo JD 1848974,04186.
Poi si calcola:
T = (1848974,04186 - 2433282,4235) / 36524,2199 = -15,9978333073
α0 = α + [(T * 100) * mpα] = 200,658084882
δ0 = δ + [(T * 100) * mpδ] = -10,8862686528
ζ = 0°00’2304,948” * T + 0°00’00,302” * T² + 0°00’00,018” * T³ = -10,2418280209
z = 0°00’2304,948” * T + 0°00’01,093” * T² + 0°00’00,019” * T³ = -10,1867316808
θ = 0°00’2004,255” * T - 0°00’00,426” * T² - 0°00’00,042” * T³ = -8,88911159455
A = cos δ0 * sin (α0 + ζ) = -0,177544568207
B = cos θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) - sin θ * sin δ0 = -0,983403711782
C = sin θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) + cos θ * sin δ0 = -0,0373505816924
tan (α1- z) = 180,047256593
sin δ1 = C = -2,14052858662
α1 = 180,047256593
δ1 = -2,14052858662
T = (JD - 2415020,0) / 36525 = -15,4974937205
L = 279,6967° + 36000,7689° * T + 0,000303° * T² = -557641,920487
L1 = 270,4342° + 481267,8831° * T - 0,001133° * T² = -7458175,83412
M = 358,4758° + 35999,0498° * T - 0,000150° * T² = -557536,608444
M1 = 296,1046° + 477198,8491° * T + 0,009192° * T² = -7395087,85508
Ω = 259,1833° - 1934,1420° * T + 0,002078° * T² = 30234,0358776
∆ψ = - (17,2327” + 0,01737” * T) * sen Ω - (1,2729” + 0,00013” * T) * sen (2L) + 0,2088” *
sen (2Ω) - 0,2037” * sen (2L1) + (0,1261” - 0,00031” * T) * sen M + 0,0675” * sen M1 (0,0497” - 0,00012” * T) * sen (2L + M) - 0,0342” * sen (2L1 - Ω) - 0,0261” * sen (2L1 + M1) +
0,0214” * sen (2L - M) - 0,0149” * sen (2L - 2L1 + M1) + 0,0124” * sen (2L - Ω) + 0,0114” *
sen (2L1 - M1) = 0,0005968330633
∆ε = + (9,21” + 0,00091” * T) * cos Ω + (0,5522” - 0,00029” * T) * cos (2L) - 0,0904” * cos
(2Ω) + 0,0884” * cos 2L1 + 0,0216” * cos (2L + M) + 0,0183” * cos (2L1 - Ω) + 0,0113” * cos
(2L1 + M1) - 0,0093” * cos (2L - M) - 0,0066” * cos (2L - Ω) = 0,0026583762126
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U = T / 100 = -0,154974937205
ε = 23°26’21,448” - 0°00’4680,93” * (T / 100) - 0°00’01,55” * (T / 100)² + 0°00’1999,25” * (T /
100)³ - 0°00’51,38” * (T / 100)4 - 0°00’249,67” * (T / 100)5 - 0°00’39,05” * (T / 100)6 +
0°00’07,12” * (T / 100)7 + 0°00’27,87” * (T / 100)8 + 0°00’05,79” * (T / 100)9 + 0°00’02,45” *
(T / 100)10 = 23,6387189984
α2 = (cos ε + sen ε * sen α1 * tan δ1) * ∆ψ - (cos α1 * tan δ1) * ∆ε = 0,0000838428716
δ2 = (sen ε * cos α1) * ∆ψ + (sen α1) * ∆ε = -0,001161078902
L = 279,69668° + 36000,76892° * T + 0,0003025° * T² = -557641,920938
M = 358,47583° + 35999,04975° * T - 0,00015 * T² - 0,0000033° * T³ = -557536,595356
C = + (1,91946° - 0,004789° * T - 0,000014° * T²) * sen M + (0,020094° - 0,0001° * T) * sen
(2M) + 0,000293° * sen (3M) = 1,92610755743
Lv = L + C = -557639,99483
α3= -0°00’20,49” * [(cos α1 * cos L1 * cos ε + sen α1 * sen L1) / cos δ1] = 0,0049692578286
δ3 = -0°00’20,49” * [cos L1 * cos ε * (tan ε * cos δ1 - sen α1 * sen δ1) + cos α1 * sen δ1* sen L1] =
-0,0018935084802
α4 = α1 + α2 + α3 = 180,052309739° = 12h 00m 12,55s
δ4 = δ1 + δ2 + δ3 = -2,14358305789° = -2°08’36,9”.
Risulta quindi che Spica in data 20/03/350 d. C., alle ore 13h 00m 17s UT, aveva la posizione
apparente α4 12h 00m 12,55s e δ4 -2°08’36,9”.
ALTRI ESEMPI NUMERICI
1) calcolare le coordinate equatoriali di β Tauri al mezzogiorno del 01/01/4061 a. C. JD
238143,0
α 1950 = 5h 23m 07,71s
δ 1950 = 26°34’01,74”
mpα = 0,0019s
mpδ = -0,175”
α4 01/01/4061 a. C. = 23h 50m 53,37s
δ4 01/01/4061 a. C. = 2°10’48,9”
2) calcolare le coordinate equatoriali di ζ Tauri al mezzogiorno del 01/01/4061 a. C. JD
238143,0
α 1950 = 5h 34m 39,263s
δ 1950 = 21°06’50”
mpα = 0,0001s
mpδ = -0,022”
α4 01/01/4061 a. C. = 0h 08m 58,93s
δ4 01/01/4061 a. C. = -2°12’36,4”
3) calcolare le coordinate equatoriali di α Ophiuchi (Ras al Hague) al mezzogiorno del
01/01/3000 a. C. JD 625674,0
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α 1950 = 17h 32m 36,696s
δ 1950 = 12°35’41,92”
mpα = 0,008s
mpδ = -0,227”
α4 01/01/3000 a. C. = 13h 50m 25,08s
δ4 01/01/3000 a. C. = 28°16’08,29”.
ALGORITMO SINTETICO
Di seguito viene dato l’intero algoritmo con le due varianti di calcolo degli effetti del moto
proprio delle stelle.
1) CALCOLO DEI MOTI PROPRI
1.1) Metodo tradizionale
T = (JD0 - 2433282,4235) / 36524,2199
α0 = α + [(T * 100) * mpα]
δ0 = δ + [(T * 100) * mpδ]
1.2) Metodo della velocità radiale
α = ascensione retta all’epoca iniziale
δ = declinazione all’epoca iniziale
r = distanza in parsec
∆r = velocità radiale in parsec all’anno
mpαr = moto proprio α radianti all’anno
mpδr = moto proprio δ radianti all’anno
t = numero di anni dall’epoca di partenza a quella di arrivo, negativo nel passato e positivo nel
futuro
x = r * cos δ * cos a
y = r * cos δ * sen a
z = r * sen δ
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∆x = (x / r) * ∆r - z * mpδr * cos α - y * mpαr
∆y = (y / r) * ∆r - z * mpδr * sen α + x * mpαr
∆z = (z / r) * ∆r + r * mpδr * cos δ
x1 = x + t * ∆x
y1 = y + t * ∆y
z1 = z + t * ∆z
tan α0 = y1 / x1
tan δ0 = z1 / √(x12 + y12)
2) CALCOLO DELLA PRECESSIONE (POSIZIONE VERA)
ζ = 0°00’2304,948” * T + 0°00’00,302” * T² + 0°00’00,018” * T³
z = 0°00’2304,948” * T + 0°00’01,093” * T² + 0°00’00,019” * T³
θ = 0°00’2004,255” * T - 0°00’00,426” * T² - 0°00’00,042” * T³
A = cos δ0 * sin (α0 + ζ)
B = cos θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) - sin θ * sin δ0
C = sin θ * cos δ0 * cos (α0 + ζ) + cos θ * sin δ0
tan (α1 - z) = (A / B)
sin δ1 = C
3) CALCOLO DELLA NUTAZIONE
T = (JD - 2415020,0) / 36525
L = 279,6967° + 36000,7689° * T + 0,000303° * T²
L1 = 270,4342° + 481267,8831° * T - 0,001133° * T²
M = 358,4758° + 35999,0498° * T - 0,000150° * T²
M1 = 296,1046° + 477198,8491° * T + 0,009192° * T²
Ω = 259,1833° - 1934,1420° * T + 0,002078° * T²
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∆ψ = - (17,2327” + 0,01737” * T) * sen Ω - (1,2729” + 0,00013” * T) * sen (2L) + 0,2088” *
sen (2Ω) - 0,2037” * sen (2L1) + (0,1261” - 0,00031” * T) * sen M + 0,0675” * sen M1 (0,0497” - 0,00012” * T) * sen (2L + M) - 0,0342” * sen (2L1 - Ω) - 0,0261” * sen (2L1 + M1) +
0,0214” * sen (2L - M) - 0,0149” * sen (2L - 2L1 + M1) + 0,0124” * sen (2L - Ω) + 0,0114” *
sen (2L1 - M1)
∆ε = + (9,21” + 0,00091” * T) * cos Ω + (0,5522” - 0,00029” * T) * cos (2L) - 0,0904” * cos
(2Ω) + 0,0884” * cos 2L1 + 0,0216” * cos (2L + M) + 0,0183” * cos (2L1 - Ω) + 0,0113” * cos
(2L1 + M1) - 0,0093” * cos (2L - M) - 0,0066” * cos (2L - Ω)
U = T / 100
ε = 23°26’21,448” - 0°00’4680,93” * (T / 100) - 0°00’01,55” * (T / 100)2 + 0°00’1999,25” * (T /
100)3 - 0°00’51,38” * (T / 100)4 - 0°00’249,67” * (T / 100)5 - 0°00’39,05” * (T / 100)6 +
0°00’07,12” * (T / 100)7 + 0°00’27,87” * (T / 100)8 + 0°00’05,79” * (T / 100)9 + 0°00’02,45” *
(T / 100)10
α2 = (cos ε + sen ε * sen α1 * tan δ1) * ∆ψ - (cos α1 * tan δ1) * ∆ε
δ2 = (sen ε * cos α1) * ∆ψ + (sen α1) * ∆ε
4) CALCOLO DELL’ABERRAZIONE ANNUA DELLA LUCE
T = (JD - 2415020,0) / 36525
L = 279,69668° + 36000,76892° * T + 0,0003025° * T²
M = 358,47583° + 35999,04975° * T - 0,00015 * T² - 0,0000033° * T³
C = + (1,91946° - 0,004789° * T - 0,000014° * T²) * sen M + (0,020094° - 0,0001° * T) * sen
(2M) + 0,000293° * sen (3M)
Lv = L + C
α3= -0°00’20,49” * [(cos α1 * cos L1 * cos ε + sen α1 * sen L1) / cos δ1]
δ3 = -0°00’20,49” * [cos L1 * cos ε * (tan ε * cos δ1 - sen α1 * sen δ1) + cos α1 * sen δ1*sen L1]
5) CALCOLO DELLA POSIZIONE APPARENTE
α4 = α1 + α2 + α3
δ4 = δ1 + δ2 + δ3
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FK4 B1950.0 PROGRAMMATO PER LA CALCOLATRICE CASIO FX 9700GE
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Ringraziamenti
Ringrazio caldamente la dott.ssa Elena Salvo per la puntuale e ripetuta correzione delle bozze e
tutti coloro che hanno contribuito in qualsiasi modo alla stesura ed alla pubblicazione di questo
articolo.
Bibliografia
Codebò, Mario (2010), L’algoritmo giuliano del Sole (metodo JD), Atti del XII Seminario
A.L.S.S.A. di Archeoastronomia.
Gribbin John (1998), Enciclopedia di Astronomia e Cosmologia, Garzanti.
Meeus Jean (1988), Astronomical Formulae for Calculators, Willmann-Bell Inc., Richmond,
Virginia, USA.
Meeus Jean (1990), Astronomia con il Computer, Hoepli, Milano.
Meeus Jean (2005), Astronomical Algorithms, Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia, USA.
Pannunzio Renato (2002), Moti Propri della Terra e Scale di Tempo nell’Astronomia Moderna,
INAF-Osservatorio Astronomico di Torino, Pino Torinese (TO).
Smart William Marshall (1977), Textbook on Spherical Astronomy, Cambridge University Press,
Cambridge, UK.
Zagar Francesco (1984), Astronomia Sferica e Teorica, Zanichelli, Bologna.
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