soluzioni sesta serie

CORSO DI STATISTICA
Cattedra (P – Z) - Prof. Giuseppe Arbia
6 Serie di esercizi (19 dicembre 2002)
Quesito n. 1 - Viene lanciato un dado a 4 facce. Calcolate se possibile, la probabilità P(E 4) date le seguenti condizioni.
(a) P(E1) = 0,2; P(E2) = 0,4 ; P(E3) = 0,1
P(E4) = 0,3
(b) P(E1) = 0,4; P(E2) = 0,4 ; P(E3) = 0,3
impossibile
(c) P(E1) = 0,6; P(E3) = 0,2
P(E2) = 0,2
Quesito n. 2 - In una famiglia con 3 figli, qual è la probabilità che:
a) Almeno uno sia maschio ?
b) Almeno 2 siano maschi?
c) Almeno 2 siano maschi condizionata al fatto che almeno uno è maschio?
d) Almeno 2 siano maschi, dato che il più vecchio è maschio?
1° figlio
M
2° figlio
M
3° figlio
M
F
M
F
M
F
M
F
F
F\
M
F
CASI POSSIBILI = 8
2a)
P(M1) = P(3M)+P(2M)+P(1M)= 1/8 + 3/8+3/8 = 7/8
2b)
P(M2) = P(2M)+P(1M)= 3/8+3/8 = 4/8
2c)
CASI POSSIBILI = 7
MMM MMF
MFM
FMM
MMM MMF
MFM
MFF
FFM
FMF
MFF
P(M2|M1) = 4/7
2d)
CASI POSSIBILI = 4
P(M2|più vecchio = M) = 3/4
Quesito n.3 - Supponiamo che tre avventori in un ristorante abbiano dimenticato il proprio cappello, così che la
cameriera debba andare a riprenderli e li restituisca agli avventori in odo casuale. Qual è la probabilità
(a) Che nessuno riprenda il cappello giusto?
(b) Che esattamente uno riprenda il cappello giusto?
(c) Che esattamente 2 prendano il cappello giusto?
(d) Che tutti e tre lo riprendano giusto ?
Posizione giusta: A B C
CASI POSSIBILI= 6
ABC
TUTTI GIUSTI
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
UNO GIUSTO
UNO GIUSTO
NESSUNO GIUSTO
NESSUNO GIUSTO
UNO GIUSTO
3A) 2/6
3B) 3/6
3c) 0
3D) 1/6
Quesito n. 4 - Un’urna contiene tre palle rosse, due bianche ed una blu. Una seconda urna contiene una palla rossa, due
bianche e tre blu.
a) Si estrae a caso una palla da ciascuna urna.
i) descrivete lo spazio campionario di questo esperimento
ii) qual’è la probabilità che entrambe le palle siano delle stesso colore?
b) mescoliamo ora in una stessa urna tutte le palle, e successivamente estraiamo da questa tre palle. Trovate la
probabilità che siano rappresentati tutti i colori se l’estrazione avviene (i) con reimmissione e (ii)
senza reimmissione.
4ai)
RR; BB;
BL BL; RB; BR; B BL;BL B;R BL;BL R
4aii)
P(entrambe stesso colore) = P(RR)+P(BB)+P(BL BL) =
3/6 1/6 + 2/6 2/6 + 1/6 3/6 = (3+4+3)/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277
4bi)
P(R) = P(B) = P(BL) = 1/ 3
Casi possibili = 33 = 27
P(R, B, BL) = 3! /27 = 2/9 = 0,222
4bii)
P(R, B, BL) = 3! (4/12 4/11 4/10) = 12/55 = 0,218
Quesito n. 5 - L’esame di statistica consiste in un test di 8 affermazioni alle quali bisogna rispondere SI o NO. Si
suppone che per superare la prova si debba rispondere correttamente a più di 6 domande. Quale è la probabilità che
rispondendo a caso il candidato superi la prova?
Casi possibili = 28 = 256
P(8) = 1/256
P(7) = 8/256
P(>6) = P(7) + P(8) = (8+28)/256 = 36/256 = 0, 14
Quesito n. 6 - Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di carte napoletane un 8 al primo tentativo? E in cinque
tentativi senza reimmissione?
Casi possibili = 25 = 32
Casi favorevoli
Probabilità
SI
4/40 = 0.1
NO
SI
36/40 4/39 = 0, 092
NO
NO
SI
NO
NO
NO
SI
NO
NO
NO
NO
36/40 35/39 4/38 = 0,085
36/40 35/39 34/38 4/37 = 0, 078
SI
36/40 35/39 34/38 33/37 4/36 = 0,071
TOTALE
0,351
Quesito n. 9 – Un’urna contiene 4 palline azzurre e 6 nere. Estraendo con reimmissione 3 palline,
(i) Qual è la probabilità di ottenere (a) nessuna nera?, (b) 1 nera?, (c) 2 nere?, (d) 3 nere?
(ii) Si ripeta lo stesso esercizio per un’urna che contiene palline azzurre con probabilità p e nere con probabilità (1-p)
(iii) Si ripeta lo stesso esercizio supponendo di estrarre un numero qualsiasi n di palline
9i) Casi possibili = 23 = 8
1° pallina
N
2° pallina
N
3° pallina
N
A
N
A
N
A
N
A
A
A
N
A
a) P(NESSUNA NERA) = P(AAA) = 0, 4 0,4 0, 4 = 0,064
b) P(1 nera) = P(NAA) + P(ANA) + P(AAN) = 3 (0,4 0, 4 0,6 ) = 0,288
c) P (2 nere) = P(NNA) + P(NAN) + P(ANN) = 3 (0,4 0,6 0,6) = 0,432
d) P(NNN) = 0,6 0, 6 0,6 = 0,216
NOTA : Totale = 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1
9ii)
a)
P(NESSUNA NERA) = P(AAA) = p p p = p3
b) P(1 nera) = P(NAA) + P(ANA) + P(AAN) = 3 (p p (1-p)) = 3 p2 (1-p)
c) P (2 nere) = P(NNA) + P(NAN) + P(ANN) = 3 (p (1-p)(1-p)) = 3 p (1-p) 2
d) P(NNN) = (1-p) 3
9iii)
a) P(NESSUNA NERA) = P(AA…….A) = p p……… p = p n
b) P(1 nera) = P(NA……A) + P(AN……A) + ………+P(AAN) = n (p……… p (1-p)) = n pn-1 (1-p)
c) P (2 nere) =
 n
  P(NNA……A) =
 2
d) P(N…..N) = (1-p) n
 n
  (p……p (1-p)(1-p)) =
 2
 n  n-2
  p (1-p) 2
 2
Quesito n. 10 - La sfida finale!! Problema posto dal Cavalier de Mèdeè a Pascal nel 1654: Usando un dado a sei facce,
quale dei due eventi è il più probabile:
- Ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado
- Ottenere almeno una volta una coppia di assi lanciando 24 volte due dadi.
Ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado.
Casi possibili = 64
= 1296
P(1A) = 4 (1/6) (5/6)3
 4
P(2A) =   (1/6) 2 (5/6)2
 2
 4
P(3A) =   (1/6) 3 (5/6)
 3
P(4A) = (1/6) 4
P(almeno un asso in 4 lanci) = P(1A) + P(2A) + (3A) +P(4A) =
= (500 + 150+ 20+1)/ 64 = 671/1296 = 0.5177
Ottenere almeno una volta una coppia di assi lanciando 24 volte due dadi
P(non una coppia) = 35/36
P(mai una coppia in 24 lanci) = (35/36)24 = 0.508
P(almeno una coppia in 24 lanci) = 1- P(mai una coppia in 24 lanci) = 1 – 0,508 = 0,491
E’ più probabile ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado