CORSO DI STATISTICA Cattedra (P – Z) - Prof. Giuseppe Arbia 6 Serie di esercizi (19 dicembre 2002) Quesito n. 1 - Viene lanciato un dado a 4 facce. Calcolate se possibile, la probabilità P(E 4) date le seguenti condizioni. (a) P(E1) = 0,2; P(E2) = 0,4 ; P(E3) = 0,1 P(E4) = 0,3 (b) P(E1) = 0,4; P(E2) = 0,4 ; P(E3) = 0,3 impossibile (c) P(E1) = 0,6; P(E3) = 0,2 P(E2) = 0,2 Quesito n. 2 - In una famiglia con 3 figli, qual è la probabilità che: a) Almeno uno sia maschio ? b) Almeno 2 siano maschi? c) Almeno 2 siano maschi condizionata al fatto che almeno uno è maschio? d) Almeno 2 siano maschi, dato che il più vecchio è maschio? 1° figlio M 2° figlio M 3° figlio M F M F M F M F F F\ M F CASI POSSIBILI = 8 2a) P(M1) = P(3M)+P(2M)+P(1M)= 1/8 + 3/8+3/8 = 7/8 2b) P(M2) = P(2M)+P(1M)= 3/8+3/8 = 4/8 2c) CASI POSSIBILI = 7 MMM MMF MFM FMM MMM MMF MFM MFF FFM FMF MFF P(M2|M1) = 4/7 2d) CASI POSSIBILI = 4 P(M2|più vecchio = M) = 3/4 Quesito n.3 - Supponiamo che tre avventori in un ristorante abbiano dimenticato il proprio cappello, così che la cameriera debba andare a riprenderli e li restituisca agli avventori in odo casuale. Qual è la probabilità (a) Che nessuno riprenda il cappello giusto? (b) Che esattamente uno riprenda il cappello giusto? (c) Che esattamente 2 prendano il cappello giusto? (d) Che tutti e tre lo riprendano giusto ? Posizione giusta: A B C CASI POSSIBILI= 6 ABC TUTTI GIUSTI ACB BAC BCA CAB CBA UNO GIUSTO UNO GIUSTO NESSUNO GIUSTO NESSUNO GIUSTO UNO GIUSTO 3A) 2/6 3B) 3/6 3c) 0 3D) 1/6 Quesito n. 4 - Un’urna contiene tre palle rosse, due bianche ed una blu. Una seconda urna contiene una palla rossa, due bianche e tre blu. a) Si estrae a caso una palla da ciascuna urna. i) descrivete lo spazio campionario di questo esperimento ii) qual’è la probabilità che entrambe le palle siano delle stesso colore? b) mescoliamo ora in una stessa urna tutte le palle, e successivamente estraiamo da questa tre palle. Trovate la probabilità che siano rappresentati tutti i colori se l’estrazione avviene (i) con reimmissione e (ii) senza reimmissione. 4ai) RR; BB; BL BL; RB; BR; B BL;BL B;R BL;BL R 4aii) P(entrambe stesso colore) = P(RR)+P(BB)+P(BL BL) = 3/6 1/6 + 2/6 2/6 + 1/6 3/6 = (3+4+3)/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277 4bi) P(R) = P(B) = P(BL) = 1/ 3 Casi possibili = 33 = 27 P(R, B, BL) = 3! /27 = 2/9 = 0,222 4bii) P(R, B, BL) = 3! (4/12 4/11 4/10) = 12/55 = 0,218 Quesito n. 5 - L’esame di statistica consiste in un test di 8 affermazioni alle quali bisogna rispondere SI o NO. Si suppone che per superare la prova si debba rispondere correttamente a più di 6 domande. Quale è la probabilità che rispondendo a caso il candidato superi la prova? Casi possibili = 28 = 256 P(8) = 1/256 P(7) = 8/256 P(>6) = P(7) + P(8) = (8+28)/256 = 36/256 = 0, 14 Quesito n. 6 - Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di carte napoletane un 8 al primo tentativo? E in cinque tentativi senza reimmissione? Casi possibili = 25 = 32 Casi favorevoli Probabilità SI 4/40 = 0.1 NO SI 36/40 4/39 = 0, 092 NO NO SI NO NO NO SI NO NO NO NO 36/40 35/39 4/38 = 0,085 36/40 35/39 34/38 4/37 = 0, 078 SI 36/40 35/39 34/38 33/37 4/36 = 0,071 TOTALE 0,351 Quesito n. 9 – Un’urna contiene 4 palline azzurre e 6 nere. Estraendo con reimmissione 3 palline, (i) Qual è la probabilità di ottenere (a) nessuna nera?, (b) 1 nera?, (c) 2 nere?, (d) 3 nere? (ii) Si ripeta lo stesso esercizio per un’urna che contiene palline azzurre con probabilità p e nere con probabilità (1-p) (iii) Si ripeta lo stesso esercizio supponendo di estrarre un numero qualsiasi n di palline 9i) Casi possibili = 23 = 8 1° pallina N 2° pallina N 3° pallina N A N A N A N A A A N A a) P(NESSUNA NERA) = P(AAA) = 0, 4 0,4 0, 4 = 0,064 b) P(1 nera) = P(NAA) + P(ANA) + P(AAN) = 3 (0,4 0, 4 0,6 ) = 0,288 c) P (2 nere) = P(NNA) + P(NAN) + P(ANN) = 3 (0,4 0,6 0,6) = 0,432 d) P(NNN) = 0,6 0, 6 0,6 = 0,216 NOTA : Totale = 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1 9ii) a) P(NESSUNA NERA) = P(AAA) = p p p = p3 b) P(1 nera) = P(NAA) + P(ANA) + P(AAN) = 3 (p p (1-p)) = 3 p2 (1-p) c) P (2 nere) = P(NNA) + P(NAN) + P(ANN) = 3 (p (1-p)(1-p)) = 3 p (1-p) 2 d) P(NNN) = (1-p) 3 9iii) a) P(NESSUNA NERA) = P(AA…….A) = p p……… p = p n b) P(1 nera) = P(NA……A) + P(AN……A) + ………+P(AAN) = n (p……… p (1-p)) = n pn-1 (1-p) c) P (2 nere) = n P(NNA……A) = 2 d) P(N…..N) = (1-p) n n (p……p (1-p)(1-p)) = 2 n n-2 p (1-p) 2 2 Quesito n. 10 - La sfida finale!! Problema posto dal Cavalier de Mèdeè a Pascal nel 1654: Usando un dado a sei facce, quale dei due eventi è il più probabile: - Ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado - Ottenere almeno una volta una coppia di assi lanciando 24 volte due dadi. Ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado. Casi possibili = 64 = 1296 P(1A) = 4 (1/6) (5/6)3 4 P(2A) = (1/6) 2 (5/6)2 2 4 P(3A) = (1/6) 3 (5/6) 3 P(4A) = (1/6) 4 P(almeno un asso in 4 lanci) = P(1A) + P(2A) + (3A) +P(4A) = = (500 + 150+ 20+1)/ 64 = 671/1296 = 0.5177 Ottenere almeno una volta una coppia di assi lanciando 24 volte due dadi P(non una coppia) = 35/36 P(mai una coppia in 24 lanci) = (35/36)24 = 0.508 P(almeno una coppia in 24 lanci) = 1- P(mai una coppia in 24 lanci) = 1 – 0,508 = 0,491 E’ più probabile ottenere almeno una volta un asso lanciando 4 volte un dado