Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 appello scritto del 8/2/13
Traccia di soluzione degli esercizi
1)
Indichiamo con A l’evento “essere allergico” e con T l’evento “risultare allergico al test”, e indichiamo con !A e !T gli
eventi complementari. Dai dati del problema sappiamo che P(A)=0.4%, P(T|A)=0.95, P(!T|!A)=0.95. Si cerca P(A|T).
Da Bayes sappiamo che P(A|T) = P(AT)/P(T) = P(T|A)·P(A)/(P(T|A)·P(A)+P(T|!A)·P(!A))= ~7.1%, avendo usato
P(T|!A) = 1-P(!T|!A)
2)
Si tratta della distribuzione binomiale negativa.
a) l’evento (Xr=k) corrisponde ad avere un successo alla iterazione k-esima, e esattamente successi r-1 nelle precedenti
(k-1) iterazioni. Poichè il risultato di ogni iterazione è indipendente, la probabilità di tale evento è data da
p·
k 1 r-1
k r
p (1-p)k-r = pr (1-p)k-r dato dal prodotto della probabilità di successo alla iterazione k per la
r 1
rk
probabilità di avere r-1 successi su k-1 iterazioni, in qualsiasi ordine.
b) si scommette sul valore che ha la massima probabilità di verificarsi, ovverossia sul valore atteso di Xr, E[Xr]= r/p.
3)
Per riproducibilità si intende che la distribuzione della VA Z=X+Y, somma di due VA i.i.d., segue la stessa legge di
distribuzione di X e Y (in altre parole, la legge di distribuzione è chiusa sotto l’operazione di somma di due VA
indipendenti).
Esempi di VA riproducibili sono le Chiquadro, le gaussiane, le gamma fissato il valore del parametro . Tra le variabili
aleatorie continue, non sono riproducibili le esponenziali e le uniformi. Tra le variabili aleatorie discrete, non sono
riproducibili le geometriche (o binomiali negative con r=1), mentre lo sono le binomiali fissato il valore del parametro p
e le poissoniane. Si dimostra utilizzando la funzione generatrice dei momenti o costruendo direttamente la funzione di
densità della Z. Sul libro viene fornita la dimostrazione nel capitolo in cui le singole distribuzioni vengono trattate.
4)
Se la ditta Slurpi affermasse il vero, quale sarebbe la probabilità di trovare una media campionaria così elevata o
superiore? Motivare la risposta.
Secondo il teorema del limite centrale la media campionaria Xav e’ distribuita normalmente con media av=2.2 e varianza
2av =2/100. Si cerca P(Xav>=3.1) = 1 – ((3.1-2.2)/(0.3/10)) = 1 - 0, quindi e' altamente improbabile che
quanto affermato dalla ditta Slurpi sia vero.
5)
Si veda pagina 240 del libro
