V.A. di Bernoulli
Definizione: X è di Bernoulli ( X~Be(p) ) di parametro p ϵ(0,1) se :
P(x=1) = p
P(x=0) =1-p
Proprietà:
E(X) = p
Var(X) = p(1-p)
Utilizzo: quando ho UNA prova nella uqale ho a disposizione solo 2 risultati, p è la probabilità che il risultato
ottenuto sia positivo. (es: estrarre una pallina da un’urna e controllare che sia del colore desiderato)
V.A. Binomiale
Definizione: X è binomiale di parametri n,p ( X~Bi(n,p) ) se:
Proprietà:
E(X) = np
Var(X) = np(1-p)
X,Y
V.A. indipendenti
X~Bi(n,p) , Y~Bi(m,p) =>
(X+Y)~Bi(n+m,p)
Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove bernoulliane (es: estraendo n
palline da un’urna SENZA REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)
Densità di Poisson
Definizione: si utilizza quando n>>1 e p<<1
X~P(λ)
Proprietà:
per passare da Binomiale a Poisson:
E(X) = λ
Var(X) = λ
X,Y
V.A. indipendenti
X~P(λ) , Y~P(μ)
=>
P(λ) = Bi(n, )
=>
Bi(n,p) = P(np)
(X+Y) ~P(λ+μ)
Utilizzo:
1. Gli eventi sono casuali nello spazio (tempo) continuo
2. Gli eventi hanno luogo singolarmente e sono esclusivi
3. Il numero di eventi che ha luogo in un dato intervallo è proporzionale alla lunghezza
dell'intervallo ;
4. Gli eventi sono indipendenti
5. La variabile è il numero di eventi aventi luogo nell'intervallo considerato.
V.A. Geometrica
Definizione:
X~Geom(p) se:
Proprietà:
Utilizzo:
1. C'è una successione di prove;
2. Due possibili risultati (successo/insuccesso);
3. Le prove sono indipendenti;
4. La probabilità ad ogni prova rimane costante;
5. La variabile è il numero di prove necessarie per avere il primo successo
V.A. Ipergeometrica
Definizione: La distribuzione ipergeometrica I(N,M,n) descrive la variabile aleatoria X che conta, per n
elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità N, quanti sono nel
sottoinsieme B di cardinalità M. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente M palline bianche
e N-M palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento n
palline.
Proprietà:
Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove (es: estraendo n palline da un’urna
CON REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)
DISTRIBUZIONE
Definizione: La distribuzione χ2(k) descrive la variabile aleatoria
,
dove X1,...,Xk sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard
parametro k è detto numero di gradi di libertà.
Proprietà:
Utilizzo: In statistica la distribuzione χ2 viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ2 e per
stimare una varianza
. Il
