Una ditta confeziona pomodori in scatola il cui peso (in grammi) è

Una ditta confeziona pomodori in scatola il cui peso (in grammi) è distribuito come una v.a. N(500,
64). Determinare la probabilità che:
a) Ci sia una scatola con peso compreso fra 480 e 490 grammi.
b) Il peso di una scatola differisca dalla media in valore assoluto per più di 20 grammi.
c) Assumendo che si contrassegnino come difettose le scatole il cui peso differisce dalla media in
valore assoluto per più di 20 grammi, calcolare la probabilità che su 5 scatole scelte a caso almeno 1
sia difettosa
Soluzione:
P(480 < X < 490)=0.10
P(|X 2 µ| > 20)=0.012
D=numero scatole difettose estraendone 5 è Bin(5, 0.012). P(D >=1) =0.059
Rappresentiamo l’andamento di un’azione con il seguente modello semplificato:
ipotizziamo che il prezzo dell’azione in un giorno salga di 1 euro con probabilità p e scenda di 1
euro con probabilità 1-p. Supponendo che il prezzo iniziale dell’azione sia c, calcolare
a) la probabilità che il prezzo dell’azione dopo 10 giorni torni al livello di partenza;
b) il prezzo medio dell’azione dopo 10 giorni
c) (con l’approssimazione normale, indicando per quali valori di p essa è valida) la probabilità
che il prezzo dell’azione scenda al di sotto del prezzo iniziale in un periodo di 3 mesi (90
gg)
Schema di soluzione:
Indicando con X il numero di giorni in cui l’azione sale di un punto in un periodo di n giorni e con Y
il prezzo dell’azione dopo n giorni , si ha che Y = c + X – (n-X). Osservare che X è una v.a.
binomiale di parametri (n, p).
10 5
10 5
Se n=10, Pr(Y=c)=
p (1 p )10 5 =
p (1 p ) 5
5
5
E(Y)=c+20p-10
Se n=90 e 90*p*(1-p)>=10, ossia se 0.13=< p <=0.87, la binomiale può essere approssimata da
una normale e abbiamo, con la correzione di continuità,
Pr(Y<=c)=Pr(X<=90/2)
(
45 + 0.5 - 90 p
90 p (1-p)
)
e quindi questa probabilità non dipende dal prezzo iniziale.
Se ad esempio p=0.55 si ottiene Pr(Y<=c) 0.1983; il calcolo esatto basato sulla binomiale dà
0.1981
se invece p=0.3 si ottiene Pr(Y<=c) 0.99999.
Il diametro di un particella di polline (in micron) è una v.a. con densità
f ( x) = cx 6 x 1 e 0 altrimenti
Determinare:
a) c
b) E(X); V(X)
c) Pr(1.3<=X<=2)
d) F(x)
Soluzione:
a) c =5
b) E(X)=1.25; V(X)=5/48
c) Pr(1.3<=X<=2) 0.24
0 x 1
d) F(x)=
1 x 5x 1
La potenza W dissipata da una resistenza è proporzionale al quadrato della differenza di potenziale
applicata ai suoi capi, W=rZ2 con r costante.
Posto r=3 e assumendo che Z sia una v.a. normale(6,1), calcolare
a) E(W)
b) Pr(W>120)
c) P(W<=w)
Soluzione
a) 3*37=111
b) 1-0.6255=0.3745
c)
( w / 3 6 )+ (- w / 3 6 ) corretto
(1- ( w / 3 6 )+ (- w / 3 6 ) rappresenta P(W>w))
Un’urna contiene 10 palline, 3 rosse e 7 bianche. Calcolare la probabilità di avere almeno due
palline rosse se ne estraiamo 5
a) Con reimmissione
b) Senza reimmissione
Soluzione
a) 0.4718
b) 0.5