1
Traccia n.1
Discutere il carattere della serie geometrica.
Svolgimento
Consideriamo la serie geometrica, ossia.:
1 + a + a2 + · · · + an + · · · =
∞
X
an
n=1
Si sa che tale serie risulta:
• convergente per |a| < 1;
• divergente per a ≥ 1;
• indeterminata per a ≤ −1.
Infatti la sua ridotta n-sima è:
sn = 1 + a + a2 + · · · + an =
sn = n,
per cui:
1 − an
, a 6= 1,
1−a
a = 1.
1 − an
, a 6= 1,
n
n
1−a
lim sn = lim n,
a = 1.
lim sn = lim
n
n
Si ha, quindi: |a| < 1 ⇒ lim an = 0, per cui:
n
lim
sn = lim
n
n
Pertanto la serie risulta convergente con somma
1 − an
1
=
.
1−a
1−a
1
;
1−a
a > 1 ⇒ lim an = +∞, per cui:
n
1 − an
= +∞
n
n
1−a
e per a = 1, bananalmente, lim sn = lim n = +∞. Pertanto la serie risulta divergente per a ≥ 1;
lim sn = lim
n
n
a ≤ −1 ⇒ lim an non esiste e, quindi, non esiste nenche il limite:
n
lim sn = lim
n
Pertanto la serie risulta indeterminata.
n
1 − an
.
1−a
2
Traccia n.2
Discutere il carattere della serie armonica.
Svolgimento
Consideriamo la serie armonica, ossia:
1+
∞
X
1 1
1
1
+ +···+ +··· =
2 3
n
n=1 n
Controlliamo che la serie armonica non converge.
A tal fine, ricordiamo il Criterio di convergenza di Cauchy:
Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie di termine generale an è che la somma di
un qualunque numero di termini che segue l’n-esimo tenda a zero al crescere di n, ossia che per ogni numero
positivo , comunque piccolo, sia possibile trovare un indice ν tale che, per n maggiore di ν e per ogni valore di
k ∈ N, riesca:
|an+1 + an+2 + · · · + an+k | < .
Tanto premesso, è immediato verificare che la somma di un certo numero di termini non si può rendere
arbitrariamente piccola al crescere di n.
Risulta infatti che:
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+···+
≥
+
+···+
=n
= .
n+1 n+2
2n
2n 2n
2n
2n
2
Pertanto la serie risulta non convergente e, essendo a termini positivi, risulta divergente.
3
Traccia n.3
Considerato il sistema lineare:
x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 2 ,
x1 − x2 = 3
controllare se risulta compatibile.
Svolgimento
Ricordiamo il teorema di Rouché-Capelli:
Si consideri il sistema Ax = b. Se A è una matrice rettangolare di ordine m × n, si consideri la matrice Ab , di
ordine m × (n + 1), ottenuta aggiungendo ad A la colonna dei termini noti (Matrice completa del sistema):
Ab =
a1,1
a2,1
·
am,1
· · · a1,n
· · · a2,n
···
·
· · · am,n
| b1
| b2
= (A|b),
| ·
| bm
allora il sistema è dotato di soluzioni (compatibile) se e soltanto se il rango di A coincide con il rango di Ab .
Calcoliamo, quindi, il rango delle due matrici precedentemente indicate.
La matrice del sistema è di ordine 3 × 2, quindi il suo rango è, al più 2. La matrice completa è di ordine 3 × 3.
Controlliamo se ha rango 3:
calcoliamo il suo determinante.
Risulta:
1
1 1 2 2 = 0.
2
1 −1 3 La matrice completa ha, quindi, rango minore di 3.
Il minore:
1
1 = −2 6= 0,
1 −1 è comune sia alla matrice dei coefficienti del sistema che alla matrice completa, risulta che entrambe hanno
rango 2.
Il sistema è dunque compatibile.
4
Traccia n.4
Stimare con la formula dei trapezi su 5 punti il seguente integrale definito:
Z
1
x2 dx.
0
Svolgimento
Ricordiamo la formula dei trapezi:
f (x0 ) + f (x1 ) f (x1 ) + f (x2 )
+
+···
2
2
!
f (xn−1 ) + f (xn )
+
=
2
!
f (b)
f (a)
= hn
+ f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn−1 ) +
,
2
2
Tn = hn
dove a e b sono gli estremi d’integrazione, n il numero di sottointervalli in cui è diviso l’intervallo d’integrazione,
hn l’ampiezza di ciascun sottointervallo:
b−a
hn =
,
n
e i nodi xi , i = 0, ..., n sono:
xi = a + i ∗ hn .
Nel nostro caso, si ha:
n = 4, h4 =
1
= 0.25,
4
pertanto i punti in cui valutare la funzione sono:
x0 = 0, x1 = h4 = 0.25, x2 = 2h4 = 0.5
x3 = 3h4 = 0.75, x4 = 4h4 = 1.
Si ha, quindi:
T4
!
f (x0 )
f (x4 )
+ f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) +
=
= h4
2
2
!
02
12
2
2
2
= 0.25
+ (0.25) + (0.5) + (0.75) +
=
2
2
= 0.25(0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 0.5) = 0.3438
5
Traccia n.5
Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
x log xdx.
Svolgimento
Siccome il fattore x della funzione integranda può essere inteso come la derivata della della funzione x2 /2, appare
ragionevole utilizzare la regola di integrazione per parti, ossia decomporre l’integrale nel modo seguente:
Z
0
f (x) · g (x) dx = f (x) · g(x) −
Z
f 0 (x) · g(x) dx.
Applicandola, si ha:
Z
x log xdx =
=
=
=
=
Z
x2
] log xdx =
2
Z 2
x
log x −
D[ log x] dx =
2
Z 2
x
1
log x −
× dx =
2
x
Z
x
log x −
dx =
2
x2
log x −
+c
4
D[
x2
2
x2
2
x2
2
x2
2
