Le formule di Algebra e Analisi matematica SUCCESSIONI e SERIE SUCCESSIONE (an) = a1, a2, ..., an n (an) convergente (an) → L se ∀ε>0, ∃ Nε : ∀n>Nε ⇒ | an - L | < ε (an) divergente (an) → ∞ se ∀M>0, ∃ N : ∀n>N ⇒ an > M MONOTONIA (an) crescente se an ≤ an+1 (an) limitata superiormente ⇒ (an ) → sup (an ) (an) decrescente se an ≥ an+1 (an) limitata inferiormente ⇒ (an) → inf (an) LIMITI NOTEVOLI 1/n → 0 ( 1 + 1/n ) → e n ( 1 + 1/n ) n n+1 √n →1 n √a →1 SERIE →e (a>0) Σ an = a1 + a2 + a3 + ... = s 1 , s2 , s3 ... somma: S = lim sn n→+∞ Σ ( can + dbn ) = c Σ an + d Σ bn Σ an , Σ bn convergenti ⇒ Σ ( can + dbn ) convergente CRITERI (an,bn >0) Confronto: Σ an ≥ Σ bn , Σ an convergente ⇒ Σ bn convergente Σ an divergente ⇒ Σ bn divergente lim an/bn = L > 0 ⇒ an bn hanno stesso carattere lim an/bn = +∞ ⇒ Σ bn divergente ⇒ Σ an divergente Rapporto: < 1 ⇒ Σ an convergente lim an+1 > 1 ⇒ Σ an divergente an = 1 ⇒ criterio inefficace Radice: < 1 ⇒ Σ an convergente n lim √ an > 1 ⇒ Σ an divergente = 1 ⇒ criterio inefficace Confronto con un integrale: ƒ(x) > 0 e decresc. su [1,+ ∞) ; an = ƒ(n) ⇒ Σ an , ∫ ƒ(x)dx hanno lo stesso carattere n-1 Teorema di Leibnitz: (an) monotona non crescente, lim (an) = 0 ⇒ Σ (-1) SERIE NOTEVOLI Geometrica an convergente a / (1-x) se |x| < 1 ∞ n 2 Σ ax = a + ax + ax + ... = +∞ se x ≥ 1 n=0 oscillante se x ≤ -1 ∞ Armonica semplice Σ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... = +∞ n=0 ∞ Serie di Mengoli Σ 1/nα = 1 + 1/2α + 1/3α + ... = converge se 0 ≤ α ≤ 1 n=0 +∞ se α ≥ 1 Σ 1 / n(n+1) = 1 Serie di Bertrand Σ 1 / [x (log n) ] = Armonica generalizzata ∞ n b n=0 n converge diverge (n=1,2,... +∞) Σ sin π/2 Σ k / n! (n=2,3,... +∞) Σ log n / nα converge diverge n Σ n! / n n se α>1 aut α=1, β>1 se α<1 aut α=1, β≤1 Σ a / n! (convergenti) se α>1 se α<1