SUCCESSIONI e SERIE

Le formule di Algebra e Analisi matematica
SUCCESSIONI e SERIE
SUCCESSIONE
(an) = a1, a2, ..., an
n
(an) convergente (an) → L se ∀ε>0, ∃ Nε : ∀n>Nε ⇒ | an - L | < ε
(an) divergente
(an) → ∞ se ∀M>0, ∃ N : ∀n>N ⇒ an > M
MONOTONIA
(an) crescente se an ≤ an+1
(an) limitata superiormente ⇒ (an ) → sup (an )
(an) decrescente se an ≥ an+1 (an) limitata inferiormente ⇒ (an) → inf (an)
LIMITI NOTEVOLI
1/n → 0
( 1 + 1/n ) → e
n
( 1 + 1/n )
n
n+1
√n →1
n
√a →1
SERIE
→e
(a>0)
Σ an = a1 + a2 + a3 + ... = s 1 , s2 , s3 ... somma: S = lim sn
n→+∞
Σ ( can + dbn ) = c Σ an + d Σ bn Σ an , Σ bn convergenti ⇒ Σ ( can + dbn ) convergente
CRITERI (an,bn >0)
Confronto:
Σ an ≥ Σ bn , Σ an convergente ⇒ Σ bn convergente
Σ an divergente ⇒ Σ bn divergente
lim an/bn = L > 0 ⇒ an bn hanno stesso carattere
lim an/bn = +∞ ⇒ Σ bn divergente ⇒ Σ an divergente
Rapporto:
 < 1 ⇒ Σ an convergente
lim an+1  > 1 ⇒ Σ an divergente
an  = 1 ⇒ criterio inefficace
Radice:
 < 1 ⇒ Σ an convergente
n
lim √ an  > 1 ⇒ Σ an divergente
 = 1 ⇒ criterio inefficace
Confronto con un integrale:
ƒ(x) > 0 e decresc. su [1,+ ∞) ; an = ƒ(n) ⇒ Σ an , ∫ ƒ(x)dx hanno lo stesso carattere
n-1
Teorema di Leibnitz: (an) monotona non crescente, lim (an) = 0 ⇒ Σ (-1)
SERIE NOTEVOLI
Geometrica
an convergente
 a / (1-x) se |x| < 1
∞
n
2
Σ ax = a + ax + ax + ... =  +∞
se x ≥ 1
n=0
 oscillante
se x ≤ -1
∞
Armonica semplice Σ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... = +∞
n=0
∞
Serie di Mengoli
Σ 1/nα = 1 + 1/2α + 1/3α + ... =  converge se 0 ≤ α ≤ 1
n=0
 +∞
se α ≥ 1
Σ 1 / n(n+1) = 1
Serie di Bertrand
Σ 1 / [x (log n) ] =
Armonica generalizzata
∞
n
b
n=0
n
 converge
 diverge
(n=1,2,... +∞)
Σ sin π/2 Σ k / n!
(n=2,3,... +∞)
Σ log n / nα  converge
 diverge
n
Σ n! / n
n
se α>1 aut α=1, β>1
se α<1 aut α=1, β≤1
Σ a / n! (convergenti)
se α>1
se α<1