Alcuni esercizi: foglio 3
Alessio Brancolini
Lemma 1 (Una specie di criterio del rapporto.). Supponiamo an , bn >
0. Se definitivamente risulta
an+1
bn+1
≤
,
an
bn
allora valgono le seguenti implicazioni:
P
P
•
n bn convergente =⇒
n an convergente;
P
P
•
n bn divergente.
n an divergente =⇒
Dimostrazione. La successione an /bn è decrescente, quindi è limitata da una
costante M ≥ an /bn . Si ha quindi
X
X
an ≤ M
bn
n
n
da cui la tesi.
Teorema 2 (Criterio di Raabe, parte I). Supponiamo che an > 0 e che
definitivamente
an
n
− 1 ≥ k > 1.
an+1
P
Allora la serie n an converge.
Dimostrazione. Dalle ipotesi segue che
an
k
≥1+ .
an+1
n
Se si avesse una disuguaglianza del tipo
k
1+ ≥
n
1
1
1+
n
h
(1)
(con h > 1) si avrebbe
an+1
≤
an
1
(n+1)h
1
nh
,
e grazie al Lemma 1 dal confronto con le serie
P armonica generalizzata (che
è convergente) seguirebbe la convergenza di n an . Per avere una disuguaglianza del tipo di (1) basta ricordare che
"
#
h
1
lim n 1 +
− 1 = h.
n→+∞
n
Prendendo 1 < h < k (si può fare) si ottiene
##
"
"
h
1
−1 =k−h>0
lim k − n 1 +
n→+∞
n
da cui definitivamente
"
"
k−n
1
1+
n
##
h
−1
≥0
cioè la (1).
Teorema 3 (Criterio di Raabe, parte II). Supponiamo che an > 0 e che
definitivamente
an
− 1 ≤ 1.
n
an+1
P
Allora la serie n an diverge.
Dimostrazione. Dalle ipotesi segue che
an+1
≥
an
1
n+1
1
n
,
quindi la tesi segue dal Lemma 1 e dal fatto che la serie armonica è divergente.
Vi lascio qualche esercizio, più o meno difficile. Con questi si riesce a
coprire più o meno tutti i criteri di convergenza, anche i più strani. Le
dimostrazioni le trovate sul libro di Giusti, Esercizi e complementi di Analisi
Matematica, Volume primo, Bollati Boringhieri.
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Esercizio 4. Supponiamo an , bn > 0. Se vale la seguente condizione,
lim sup
n→+∞
an
< +∞,
bn
cosa si può dire della convergenza (o divergenza)
della serie
P
zione alla convergenza (o divergenza) di n bn ? E se invece
P
n
an in rela-
an
>0
bn
lim inf
n→+∞
cosa vale?
Esercizio 5. Supponiamo che
1
an
k
=1+ +O
an+1
n
n2
P
P
Dimostrare che se k > 1, allora n an converge e che se k ≤ 1, allora n an
diverge.
Suggerimento. Se k 6= 1, applicare il Criterio di Raabe. Se k = 1 considerare
la serie il cui termine generale è dato da
bn =
1
n log n
e tentare un confronto tramite il Lemma 1.
Esercizio 6. Supponiamo che
k
1
an
=1+ +O
, r > 1.
an+1
n
nr
P
P
Dimostrare che se k > 1, allora n an converge e che se k ≤ 1, allora n an
diverge.
Esercizio 7 (Formula di somma per parti). Siano an , bn successioni e
siano
n
n
X
X
An =
ak , Bn =
bk .
k=1
dimostrare che
n
X
k=1
k=1
a k b k = An b n +
n−1
X
k=1
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Ak (bk − kk+1 ).
Esercizio 8 (Criterio di Dirichlet). Sia
sn =
n
X
ck
k=1
tale che |sn | ≤ M . Sia qk una successione positiva e decrescente. Posto allora
σn =
n
X
c k qk
k=1
si ha
|σn | ≤ M q1 .
P
In più se qk tende a zero allora k ck qk converge.
Suggerimento. Usare la formula di somma per parti.
Esercizio 9. Sia α > 0. Dimostrare che la serie
X sin(nx)
nα
n
è convergente per ogni x.
Dimostrazione. Considerare la serie
X exp(nx)
nα
n
invece di quella originaria e usare il criterio di Dirichlet (il criterio di Dirichelt
si applica anche quando ck è una serie di numeri complessi).
Teorema 10 (Abel). Sia an una successione
di numeri positivi, sia sn la
P
successione delle somme parziali. Allora n an è convergente se e solo se la
serie
X ak
sk−1
k
è convergente.
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