Regole utili per il calcolo dei limiti Algebra dei limiti

Regole utili per il calcolo dei limiti
Calcolare il seguente limite risulta alquanto elementare
lim (𝑥 + 5) = 6
𝑥1
Basta sostituire alla variabile x il valore 1 ed eseguire le
operazioni.
In altri casi calcolare il limite può risultare più difficile. Grazie
all’algebra dei limiti l’operazione può risultare più agevole.
Algebra dei limiti
1. L’esempio mostrato all’inizio prende il nome di
sostituzione diretta (possibile solo se la funzione è
continua nel valore a cui tende la variabile)
2. Il limite della somma (differenza) è uguale alla somma
(differenza) dei limiti
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ± 𝑔(𝑥 )
𝑥𝛼
=
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )
𝑥𝛼
±
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑥𝛼
3. Il limite del prodotto (rapporto) di una costante per una
funzione è uguale al prodotto (rapporto) della costante
per il limite della funzione
𝑙𝑖𝑚 2 ∗ 𝑔(𝑥 )
𝑥𝛼
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )/2
𝑥𝛼
=
2 ∗ 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
=
1
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )
2 𝑥𝛼
𝑥𝛼
4. Il limite del prodotto (rapporto) è uguale al prodotto
(rapporto) dei limiti
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) ∗ 𝑔(𝑥 )
=
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 )/𝑔(𝑥 )
=
𝑥𝛼
𝑥𝛼
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )
𝑥𝛼
∗
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 ) /
𝑥𝛼
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑥𝛼
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑥𝛼
5. Il limite di una potenza o una radice è uguale alla
potenza o radice del limite
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥)
𝑥𝛼
=
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )𝑥𝛼
𝑥𝛼
6. Il limite della funzione reciproca
Sia 𝑓(𝑥) una funzione e
Se lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙
𝑥→𝑎
allora
1
𝑓(𝑥)
la funzione reciproca
1
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim
=
1
𝑙
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