Funzioni elementari: funzioni
trigonometriche
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La circonferenza goniometrica
La circonferenza di equazione
x2 + y2 = 1
é detta circonferenza goniometrica.
1
P
−1
α
0
A
−1
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La circonferenza goniometrica
I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é data
come
_
AP
α=
OA
_
dove AP indica la lunghezza del corrispondente arco di circonferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio.
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La circonferenza goniometrica
I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é data
come
_
AP
α=
OA
_
dove AP indica la lunghezza del corrispondente arco di circonferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio.
La misura dell’angolo in radianti é un semplice numero
reale senza alcuna dimensione.
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La circonferenza goniometrica
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0, 2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P,
∀α ∈ [0, π]
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0, 2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P,
∀α ∈ [0, π]
cos(α) = ascissa di P,
∀α ∈ [0, π]
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0, 2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P,
∀α ∈ [0, π]
cos(α) = ascissa di P,
∀α ∈ [0, π]
Per come é definita la circonferenza goniometrica si ha
inoltre
sin(α) ∈ [−1, 1]
e
cos(α) ∈ [−1, 1]
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Seno e sue proprietá
La funzione seno ha il seguente andamento
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Seno e sue proprietá
La funzione seno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo
andamento.
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Seno e sue proprietá
La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha
cioé
sin(x) = sin(x + kT), ∀x ∈ R, k ∈ Z
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Seno e sue proprietá
La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si ha
cioé
sin(x) = sin(x + kT), ∀x ∈ R, k ∈ Z
La funzione seno é una funzione dispari
sin(−x) = −sin(x)
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno ha il seguente andamento
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo
andamento.
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, si
ha cioé
cos(x) = cos(x + kT),
∀x ∈ R, k ∈ Z
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, si
ha cioé
cos(x) = cos(x + kT),
∀x ∈ R, k ∈ Z
La funzione coseno é una funzione pari
cos(x) = cos(−x)
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Archi associati
Valgono le seguenti relazioni tra archi associati:
sin(x + π) = −sin(x) sin(π − x) = sin(x)
cos(x + π) = −cos(x) cos(π − x) = −cos(x)
π
π
sin(x + ) = cos(x) cos(x + ) = −sin(x)
2
2
π
π
sin( − x) = cos(x) cos( − x) = sin(x)
2
2
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Ancora sulle proprietá
La seguente relazione tra seno e coseno é nota come relazione fondamentale della trigonometria:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
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Valori notevoli
Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circonferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli particolari.
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Valori notevoli
Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circonferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli particolari.
• α = π4
sin(α) =
• α = π3
sin(α) =
• α = π6
sin(α) =
√
2
2 ,
√
3
2 ,
1
2,
√
2
2
cos(α) = 12
√
cos(α) = 23
cos(α) =
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Teorema del triangolo rettangolo
Si consideri il triangolo rettangolo di lati a, b, c in figura e
il triangolo rettangolo di ipotenusa unitario inscritto nella
circonferenza goniometrica.
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Teorema del triangolo rettangolo
Dal confronto tra le due figure é possibile dimostrare che
b = ccos(α)
a = csin(α)
a
b
=
sin(α
cos(α)
Basta osservare che i due triangoli ABC e OHP sono due
triangoli simili e vale pertanto la seguente proporzione:
AB : OH = AC : OP
che equivale a
b : cos(α) = c : 1
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Tangente
Si definisce tangente dell’angolo α il seguente rapporto:
tanα =
sinα
,
cosα
∀α ∈ R tale che cosα 6= 0, cioé ∀α ∈ R tale che α 6=
kπcon k ∈ Z
π
2
+
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Riassumendo
y
1
1
2
sin α
tan α =
cos α
x
sin α
−1
α
cos α
− 12
1
− 12
−1
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Grafico Tangente
La funzione tangente ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suo
andamento.
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Tangente e sue proprietá
La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, si
ha cioé
tan(x) = tangente(x + kT),
∀x 6=
π
+ kπ, k ∈ Z
2
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Tangente e sue proprietá
La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, si
ha cioé
tan(x) = tangente(x + kT),
∀x 6=
π
+ kπ, k ∈ Z
2
La funzione tangente é una funzione dispari
tan(x) = −tan(−x)
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