Definizione di angolo orientato: Un angolo si dice orientato quando è generato da una rotazione del lato ‘origine’ attorno al vertice fino ad arrivare al lato termine; cioè quando è fissato quale dei due lati è il 1° e quale il 2°. Si dice positivo se la rotazione è in verso antiorario, negativo se in verso orario. Il grado (°) è l’unità di misura dell’angolo: 1° corrisponde a 1/360° dell’angolo giro, mentre 1° = 60’( gradi sessagesimali) e 1’= 60’’( gradi centesimali) Es. 30°20’54’’ + 2°45’24’’ = 33°6’18’’ …per esprimerlo in forma decimale bisogna ricordarsi che: 1’= 1/60’’ ; 1’’= (1/60)’= (1/60+1/60)° = (1/3600)° QUINDI…. 33°( 6/60)°(18/3600)° = 33° (1/10)° (1/200)° 33°+0,1°+0,005°= 33,105° …per passare da decimale a grado: 12,43°=12°+0,43x60’ = 12°+25,8’ = 12°+25’+0,8x60’’ = 12°25’48’’ IL RADIANTE: Il radiante è la misura dell’angolo al centro che sottende un arco lungo come il raggio. AP(arco)/r= 1 radiante 2πr/r= 2πrad ρ simbolo dell’ angolo espresso in radianti ρ : 2π = α° : 360° ρ = α°x2 π α°= ρ x 360°/2 π Es. 360°= 2π 180°= π 90 °= π / 2 60° = π / 3 45° = π / 4 30° = π / 6 x:30°= 2 π : 360° x = 30°· 2 π / 360° = π / 6 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La funzione goniometrica può essere definita come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo Le funzioni goniometriche: - seno e coseno - tangente e cotangente - circonferenza goniometrica - secante e cosecante SENO&COSENO: Dato il triangolo rettangolo ORP in figura, si dice seno dell'angolo α il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa del triangolo senα = RP/ OP senα = cateto opposto/ ipotenusa dato che la circonferenza ha raggio 1 il seno sarà uguale a RP. Dato sempre il triangolo in figura si dice coseno dell’angolo α il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa del triangolo. Cosα = OR/OP cosα = cateto adiacente/ipotenusa … siccome la circonferenza ha raggio 1 cosα = OR - E’ possibile dare una rappresentazione analitica delle funzioni di seno e coseno: le due funzioni sono periodiche, perché abbiamo visto come i loro valori si ripetano se continuiamo a girare sulla circonferenza. Infatti crescendo oltre 360°, il seno e il coseno si ripetono uguali, si dice perciò che le due funzioni siano funzioni periodiche di periodo 360°(2π) Le due funzioni hanno valori sempre compresi tra -1 e 1, cioè il codominio delle funzioni seno e coseno è l'intervallo [-1,1] dei numeri reali. SENO COSENO LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Come circonferenza goniometrica intendiamo la circonferenza che ha come centro l’origine O degli assi e raggio di lunghezza 1; 1^RELAZIONE FONDAMENTALE: considerando una circonferenza di raggio 1, e un punto B a cui corrisponda l’angolo alfa, seno coseno e raggio formeranno un triangolo rettangolo a cui possiamo applicare il teorema di Pitagora sen²α + cos²α = 1 OB²= OA²+ AB² sotituiamo 1 = cos²α + sen²α che diventasen²α + cos²α = 1 ( da qui possiamo ricavare poi seno e coseno) 1) senα = ± √1-√cos²α 2) cosα = ±√1-√sen²α Es. Senα = 7/ 25 0 < α < π/2 (90°) cos α ? - inanzitutto dobbiamo individuare il quadrante che sta tra 0 e 90°, cioè il I°, dove cos>0 e sen>0 cos α = √1- (7/25)² √1- 49/625 √625-49/625 √576/625 = 24/25 LA TANGENTE E LA COTANGENTE - la tangente goniometrica (tg α) è una delle funzioni dell’angolo alfa; viene definita come rapporto del segmento di tangente in A alla circonferenza, intercettato dal prolungamento del raggi 0P con il raggio OA della circonferenza. - La cotangente dell'angolo alfa è la funzione che all'angolo alfa associa l'ascissa del punto T 2^ RELAZIONE FONDAMENTALE consideriamo la circonferenza goniometrica, e notiamo che: - i triangoli OPH e OTA sono simili ( hanno due angoli congruenti rispettivamente e i lati in proporzione) posso così considerare che se OH : OA = PH : TA … sostituendo Cosα : 1 = senα : TA ... QUINDI : TA = 1 · senα / cosα = senα / cosα Definiamo quindi la tangente cosi : tg = senα / cosα La seconda relazione è quindi una relazione fra il seno e il coseno con la tangente. GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. COSENO 2. SENO 3. TANGENTE 4. COTANGENTE 5. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA COSENO E SENO DI ANGOLI PARTICOLARI: α in gradi 0° α in radianti 0 senα cosα Tgα cotgα 0 1 0 _______ 30° Π/6 ½ √3/2 √3/3 √3 45° Π/4 1/2 √2/2 1 1 60° Π/3 √3/2 1/2 √3 √3/3 90° Π/2 1 0 Non esiste 0 120° 2/3 Π √3/2 -1/2 - √3 √3/3 135° 3/4 Π - √2/ 2 - √2/2 -1 -1 150° 5/ 6 Π - √3/2 - √3/3 - √3 180° Π 0 -1 O ________ 210° 7/6 Π - 1/ 2 - √3/2 √3/3 √3 225° 5/4 Π - √2/2 - √2/2 1 1 240° 4/3 Π - √3/2 -1/2 √3 √3/3 270° 3/2 Π 0 Non esiste 0 300° 5/3 Π - √3/2 1/2 - √3 - √3/3 315° 7/4 Π √2/2 √2/2 -1 -1 330° 11/5 Π - 1/2 √3/2 - √3/3 - √3 360° 2Π 0 1 0 _______ 1/ 2 -1