Lezione 5

2.3 Goniometria e trigonometria piana
Consideriamo due semirette , uscenti dallo stesso punto , l’angolo è quella parte di piano ottenuta
facendo ruotare una delle due semirette fino a farla sovrapporre all’altra. Le due semirette vengono
chiamate lati dell’angolo.
Gli angolo possono essere positivi o negativi dipende se la rotazione
avviene in senso antiorario o in senso orario. Inoltra abbiamo differenti
unità di misura, gradi sessagesimali (meglio conosciuti), radianti, ect..
Ma cosa sono i RADIANTI?
Immaginiamo di tracciare la circonferenza di centro
Definizione La misura in radianti dell’angolo
e raggio
=
è
.
=
Questa definizione è indipendente dal raggio della circonferenza. Infatti si hanno le seguenti relazioni:
i.
ii.
iii.
360° →
180° →
90° →
=2
=
Possiamo sfruttare la seguente proporzione:
Definizione Sia
il segmento
seguente:
:
la circonferenza goniometrica e (
=
,
°
: 180° .
) un punto su di essa. Chiamiamo
forma con l’asse delle ascisse. Allora definiamo le funzione cos
Ovvero (cos , sin ).
cos
=
sin
=
l’angolo che
e sin , nel modo
Osservazione:
Nel primo quadrante:
nel secondo quadrante:
nel terzo quadrante:
nel quarto quadrante :
∈ 0,
,
∈ [ , ],
∈[ ,
∈
],
,2 .
Osservazione: Poiché ∈ , allora le coordinate di soddisfano l’equazione della circonferenza
goniometrica: +
= 1, quindi abbiamo che
cos + sin
=1
per ogni ∈ ℝ. Tale uguaglianza viene chiamata IDENTITA’ FONDAMENTALE della goniometria.
20
Inoltre osserviamo che per come sono stati definiti:
−1 ≤ cos ≤ 1
per ogni
) = cos
cos( + 2
∈ ℤ.
− 1 ≤ sin
e
sin( + 2
≤1
) = sin
Definizione Si definiscono
i.
ii.
tan
cot
=
∀
=
∀
≠ +
∈ℤ
≠
∈ℤ
Graficamente la tangente rappresenta il segmento orientato
mentre la cotangente rappresenta il segmento orientato
.
Sfruttando le regole della geometria piana andiamo a calcolare
coseno, seno, tangente e cotangente di alcuni angoli noti.
°
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
0
1
6
4
3
0
3
2
1
2
√2
2
√3
2
√3
3
√3
√3
√3
3
−1
0
0
∄
0
∄
1
0
2
∄
√3
2
√2
2
1
2
0
2
0
1
1
0
1
∄
∄
1
0
0
ARCHI ASSOCIATI
Sfruttando la simmetria della circonferenza goniometrica si possono ricavare le seguenti formule:
cos(− ) = cos
sin(− ) = − sin
cos( + ) = − cos
sin( + ) = − sin
cos
sin
+
2
+
2
= − sin
cos( − ) = sin
2
= cos
3
cos(
− ) = − sin
2
3
sin(
− ) = − cos
2
21
sin( − ) = cos
2
3
cos(
+ ) = sin
2
3
sin(
+ ) = − cos
2
cos( − ) = − cos
sin( − ) = sin
FORMULE DI SOMMA E SOTTRAZIONE, DUPLICAZIONE E BISEZIONE
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
cos(
sin(
cos 2
sin 2
± ) = cos cos ∓ sin sin
± ) = sin cos ± cos sin
= cos − sin
= 2 sin cos
sin
=
cos
=
LA FUNZIONE SENO
= sin
i.
ii.
iii.
iv.
v.
= ℝ,
= [−1,1]
Limitata
Dispari
Periodica di periodo 2
Non è iniettiva
: sinusoide
LA FUNZIONE COSENO
= cos
i.
ii.
iii.
iv.
v.
= ℝ,
= [−1,1]
Limitata
Pari
Periodica di periodo 2
Non è iniettiva
: cosinusoide
22
LA FUNZIONE TANGENTE
= tan
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
=ℝ∖
c) cos = −
d) cos( − ) = 0
e) 3 tan = √3
f) tan = 2
g) sin 2 +
h) cos(
= sin 5 +
− 4 ) = cos(2 − )
3) Risolvi le seguenti disequazioni
a) 2 cos < √2
b) tan ≥ −√3
c) 2 sin 2 − √3 < 0
Esercizi di riepilogo:
Disegna il grafico delle seguenti funzioni indicandone il dominio
1) ( ) =
2) ( ) =
−3
3) ( ) = ln( − 4)
4) ( ) = sin(4 )
23
,
=ℝ
Non è limitata
Strettamente crescente
Dispari
Periodica di periodo
Non è iniettiva
Esercizi:
1) Determina seno coseno e tangente dei seguenti angoli:
2
5
3
7
; 135°;
; 180°;
;
; 300°
3
6
2
6
2) Risolvi le seguenti equazioni:
a) 2 sin = √3
b) 2 sin + 2 = 3 sin + 4
+