1 Breve compendio su trigonometria e funzioni goniometriche

dott. ing. Franco Buratti, 24.09.2006
Breve compendio su trigonometria e funzioni goniometriche
(senza pretesa di completezza)
Misura degli angoli in radianti
In una circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio arbitrario, consideriamo l’angolo
orientato α.
Chiamiamo:
RP = arco sotteso dall’angolo α;
P
Il rapporto fra la lunghezza dell’arco orientato RP ed il raggio
OR non dipende dalla particolare circonferenza, ma solo
l
dall’ampiezza dell’angolo α. In altre parole, tale rapporto è
α
R
una funzione dell’angolo α. Definiamo allora come misura in
r
O
radianti dell’angolo orientato α il rapporto fra la lunghezza
dell’arco orientato RP sotteso dall’angolo α e la lunghezza
del raggio OR della circonferenza.
l
α rad =
r
Es.: misura dell’angolo giro in radianti.
Poiché, per l’intera circonferenza, è l = 2πr , applicando la formula troviamo che, per l’angolo giro,
αrad = 2π. Similmente, per l’angolo piatto si ottiene αrad = π.
Per passare dai gradi ai radianti, e viceversa, possiamo dunque utilizzare questa proporzione:
α rad : α° = π : 180
Quindi:
gradi
radianti
0°
0
30°
π/6
45°
π/4
60°
π/3
90°
π/2
180°
π
270°
3π/2
360°
2π
D’ora in poi utilizzeremo sempre la misura degli angoli in radianti; di conseguenza ometteremo
sempre il pedice “rad” ed indicheremo gli angoli con una lettera greca (α, β, γ, …) o con la lettera x.
Seno, coseno, tangente di un angolo
Consideriamo un triangolo rettangolo. Indichiamo con α uno
dei due angoli acuti.
Definiamo:
o = cateto opposto all’angolo
a = cateto adiacente all’angolo
i = ipotenusa
Consideriamo ora due triangoli rettangoli simili, di lati
rispettivamente o, a, i ed o', a', i' (v. figura).
Dalla similitudine dei triangoli segue l’uguaglianza dei
rapporti tra i lati corrispondenti:
o o' a a ' o o'
= ; = ; = .
i i' i i' a a'
È chiaro, quindi, che tali rapporti non dipendono dalle
dimensioni del triangolo, ma solo dalla misura dell’angolo
α. Conviene allora dare loro un nome.
1
i
o
α
a
i
i'
o
o'
a'
a
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Definiamo:
o
(cateto opposto / ipotenusa)
i
a
cos α =
(cateto adiacente / ipotenusa)
• coseno di α
i
o
• tangente di α tg α =
(cateto opposto / cateto adiacente)
a
N.B.: Nei testi americani e sulle calcolatrici si trova “sin” al posto di “sen”, e “tan” al posto di “tg”.
Notiamo che:
o
sen α
sen α
o i o
.
= i = ⋅ = = tgα ; di conseguenza, tg α =
a
cos α
cos α
i a a
i
•
sen α =
seno di α
Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo
i
β
o
α
•
•
a
i = ipotenusa
a = cateto adiacente (all’angolo α)
o = cateto opposto (all’angolo α)
•
o
i
a
cos α =
i
o sen α
tg α = =
, (per α ≠ π2 )
a cos α
sen α =
o = i · sen α = i · cos β
a = i · cos α = i · sen β
o = a · tg α;
a = o · tg β
Il seno e il coseno come funzioni dell’angolo α
sen α
Nel piano cartesiano consideriamo una circonferenza con centro nell’origine del sistema di assi
coordinati, e raggio r = 1. La circonferenza di raggio unitario è detta circonferenza goniometrica;
nella circonferenza goniometrica la misura di un angolo è numericamente uguale a quella dell’ arco
sul quale esso insiste.
Sulla circonferenza goniometrica prendiamo un punto P, e congiungiamo P al centro O; il segmento
OP forma con l’asse orizzontale un certo angolo, che indicheremo con la lettera α.
Consideriamo il triangolo rettangolo OHP. La sua ipotenusa coincide con il raggio della
circonferenza, e quindi ha lunghezza pari ad 1.
Si definisce seno dell’angolo α (e si indica con sen α) il
rapporto tra la misura del segmento orientato HP e quella del
cos α:
K
P(xP, yP)
raggio OP; tenendo conto che la lunghezza di OP è pari a 1,
cos α
+ a destra
avremo dunque:
– a sinistra
sen α = HP/OP = yP .
α
Si definisce invece coseno dell’angolo α (e si indica con cos α)
il rapporto tra la misura del segmento orientato OH e quella del
H
O
raggio OP; dunque:
cos α = OH/OP = xP .
sen α:
+ sopra
Le funzioni definite tramite la circonferenza goniometrica si
– sotto
chiamano funzioni trigonometriche (o goniometriche).
Il seno ed il coseno visti come funzioni possono assumere sia
2
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valori positivi che negativi o nulli. Notiamo infatti che l’ordinata di P è positiva quando P si trova al
di sopra dell’asse x, e negativa quando P si trova al di sotto dell’asse x; analogamente, l’ascissa di P
è positiva quando P si trova a destra dell’asse y, e negativa quando P si trova a sinistra dell’asse y.
sen α
Di conseguenza sarà:
sen α > 0 quando P è nel semipiano delle y positive, sen α < 0 quando P
è nel semipiano delle y negative; invece, cos α > 0 quando P è nel
semipiano delle x positive, cos α < 0 quando P è nel semipiano delle x
negative. I segni delle funzioni seno e coseno nei vari quadranti saranno
perciò quelli evidenziati qui a lato.
cos α
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP, si ha inoltre (sen α)2 + (cos α)2 = 1. Poiché
non abbiamo fatto alcuna ipotesi circa l’angolo α, è facile convincersi che quest’equazione vale
qualunque sia l’angolo α in questione. Quest’equazione è detta perciò l’identità fondamentale
della goniometria e più spesso si scrive, con notazione abbreviata,
sen 2 α + cos 2 α = 1 ,
dove sen2α è da intendersi come una notazione compatta per (sen α)2, e cos2α una notazione
compatta per (cos α)2.
La tangente come funzione dell’angolo α
Si definisce tangente dell’angolo α (e si indica con tg α) il
rapporto tra la misura del segmento orientato HP e quella del
tg α: +
segmento orientato OH:
K
P
tg α = HP/OH = sen α / cos α = yP/xP .
cos α
Sia R il punto di coordinate (0; 1); la tangente in R alla
tg α: –
circonferenza incontra il prolungamento del lato OP nel punto
α
T. Per le proprietà dei triangoli simili, il rapporto tra le
lunghezze dei segmenti orientati HP ed OH è uguale a quello
H
R
O
tra le lunghezze dei segmenti orientati RT ed OR; tenendo
conto del fatto che OR è il raggio della circonferenza
tg α: +
tg α: –
goniometrica, avremo dunque:
tg α = RT/OR = yT .
tg α
Il segno di tg α nei vari quadranti si ricava dal
prodotto dei segni di sen α e cos α; esso sarà pertanto positivo quando le
coordinate di P hanno segno concorde (nel 1° e nel 3° quadrante), negativo quando
le coordinate di P hanno segno discorde (nel 2° e nel 4° quadrante).
sen α
tg α
T
Funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari
α°
0°
30°
45°
60°
αrad
0
π
6
π
4
π
3
sen α
0
1
2
2
2
3
2
3
cos α
1
3
2
2
2
1
2
tg α
0
3
3
1
3
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π
2
π
3π
2
0
90°
180°
270°
360°
1
0
–
0
–1
0
–1
0
–
0
1
0
Angoli associati (angoli che differiscono da α per un multiplo intero di π/2)
π/2 + α
Osservando la figura e tenendo inoltre conto della
periodicità delle funzioni goniometriche, è immediato
stabilire le relazioni che intercorrono tra le funzioni
goniometriche relative all’angolo α e quelle relative agli
angoli associati, ossia:
π/2 – α
α
π–α
–α
π/2 ± α
π±α
2π ± α
O
–α
π+α
Abbiamo dunque:
sen (− α ) = − sen α
π

sen + α  = cos α
2


π
sen − α  = cos α
2

sen (π + α ) = − sen α
sen (π − α ) = sen α
sen (2π + α ) = sen α
sen (2π − α ) = − sen α
cos(− α ) = cos α
π

cos + α  = − sen α
2


π
cos − α  = sen α
2

cos(π + α ) = − cos α
cos(π − α ) = − cos α
cos(2π + α ) = cos α
cos(2π − α ) = cos α
tg (− α ) = − tg α
π

tg + x  = − ctg α
2


π
tg  − α  = ctg α
2

tg (π + α ) = − tg α
tg (π − α ) = − tg α
tg (2π + α ) = tg α
tg (2π − α ) = − tg α
Formule di addizione e sottrazione
sen(α ± β) =
= sen α cos β ± cos α sen β
cos(α ± β) =
= cos α cos β ∓ sen α sen β
tg(α ± β) =
tg α ± tg β
1 ∓ tg α tg β
Formule di duplicazione (caso particolare di quelle di addizione, quando β = α)
sen(2α) = 2 sen α cos α
cos(2α) = cos 2 α − sen 2 α =
= 1 − 2 sen 2 α = 2 cos 2 α − 1
tg( 2α) =
2 tg α
1 − tg 2 α
Formule di bisezione
sen
1 − cos α
α
=±
2
2
cos
1 + cos α
α
=±
2
2
4
tg
1 − cos α
α
=±
2
1 + cos α
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Formule di prostaferesi
(servono per trasformare una somma di funzioni goniometriche in un prodotto)
sen α ± sen β =
cos α + cos β =
α±β
α∓β
α+β
α −β
= 2 sen
= 2 cos
cos
cos
2
2
2
2
N.B.: Attenzione alla differenza tra i segni ± e ∓ .
cos α − cos β =
α+β
α −β
= −2 sen
sen
2
2
Formule per la risoluzione dei triangoli
Le seguenti formule sono valide per triangoli qualsiasi, anche non rettangoli.
Indichiamo i vertici del triangolo con le lettere A, B, C, i corrispondenti angoli con α, β, γ, ed i lati
opposti con a, b, c.
Teorema dei seni
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
Teorema del coseno o di Carnot
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α;
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β;
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
Area di un triangolo
S=
1
1
1
ab sen γ = bc sen α = ac sen β
2
2
2
Teoremi di frequente impiego
Teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2
(ovvero il quadrato costruito sull’ipotenusa è la somma dei quadrati costruiti sui cateti)
Primo teorema di Euclide: b2 = b1 · a, c2 = c1 · a
(ovvero il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e
la proiezione del cateto sull’ipotenusa; o ancora, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e
la sua proiezione sull’ipotenusa)
A
Secondo teorema di Euclide: h2 = b1 · c1
(ovvero il quadrato costruito sull’altezza relativa
all’ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati
le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; o ancora,
l’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le due proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa)
5
c
b
h
b1
c1
B
a
H
C
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Grafico della funzione y = sen x
La funzione y = sen x ha come dominio l’insieme dei numeri reali (Dsen x = R) e come insieme
immagine l’intervallo chiuso I = [–1; +1].
1
0.5
0
-2pi
-3pi/2
-pi
-pi/2
0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
-0.5
-1
•
È una funzione periodica, di periodo 2π.
Definizione. Una funzione y = f(x) è detta periodica se esiste un numero positivo T, detto periodo,
tale che, per ogni x, risulta f(x + T) = f(x). [Si assume come periodo il più piccolo tra i numeri che
godono di questa proprietà.]
Il periodo della funzione y = sen x è T = 2π. Infatti, sen x = sen (x + k·2π), dove k è un numero
intero qualsiasi.
•
È una funzione limitata.
Definizione. Una funzione y = f(x) è detta limitata se esiste un numero positivo M, tale che, per
ogni x nel dominio, risulta –M ≤ f(x) ≤ M.
In questo caso, –1 ≤ sen x ≤ 1.
Osservando il grafico della funzione y = sen x, possiamo inoltre dire che essa è una funzione
continua. La definizione esatta di funzione continua sarà data più avanti durante il corso; per il
momento diciamo solo che il grafico di una funzione continua è costituito da un’unica linea, senza
interruzioni.
Grafico della funzione y = cos x
La funzione y = cos x, come la precedente, ha come dominio l’asse reale (Dcos
insieme immagine l’intervallo chiuso I = [–1; +1].
x
1
0.5
0
-2pi
-3pi/2
-pi
-pi/2
0
-0.5
-1
6
pi/2
pi
3pi/2
2pi
= R) e come
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Anche la funzione y = cos x è una funzione:
• periodica, di periodo 2π
• limitata
• continua
Grafico della funzione y = tg x
La funzione y = tg x ha come dominio l’insieme dei numeri reali, esclusi i punti per i quali cos x = 0
(quindi, Dtg x = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ}) e come insieme immagine l’intero insieme R.
La funzione y = tg x è una funzione:
• periodica, di periodo π
• non limitata
• non continua
La funzione tangente è periodica di periodo π, poiché, in tutti i punti x in cui essa è definita, risulta
tg x = tg(x + kπ).
5
4
3
2
1
0
-2pi
-3pi/2
-pi
-pi/2
0
pi/2
pi
3pi/2
2pi
-1
-2
-3
-4
-5
Abbiamo detto che la funzione tangente non è definita per x = π/2 + kπ. Ci interessa vedere che cosa
succede quando x si avvicina ad uno di questi valori, ad esempio a π/2. Il comportamento è
differente, a seconda che x tenda a π/2 da sinistra (x → π/2 –) o da destra (x → π/2 +).
Si intuisce facilmente che:
•
•
tg x prende valori positivi e grandi a piacere in valore assoluto, quanto più x prende valori vicini
a π/2 ma inferiori a tale numero (cioè, quando x tende a π/2 “da sinistra”)
tg x prende valori negativi e grandi a piacere in valore assoluto, quanto più x prende valori vicini
a π/2 ma superiori a tale numero (cioè, quando x tende a π/2 “da destra”)
Utilizzando il formalismo matematico, questo si scrive:
lim− tg x = +∞
x→
lim+ tg x = −∞
π
2
x→
“Il limite di tg x, per x che tende a π/2 da sinistra, è +∞.”
“Il limite di tg x, per x che tende a π/2 da destra, è –∞.”
7
π
2