circonferenza e cerchio

La circonferenza e il cerchio Def. Circonferenza Si dice circonferenza una linea piana chiusa formata dall’insieme dei punti che hanno la stessa distanza da un punto detto centro. Si dice raggio di una circonferenza la distanza tra un punto qualunque della circonferenza e il centro. Un punto P la cui distanza dal centro O è minore del raggio r si dice interno alla circonferenza. Un punto P la cui distanza dal centro O è maggiore del raggio r si dice esterno alla circonferenza. Un punto P la cui distanza dal centro O è congruente al raggio r appartiene alla circonferenza. Def. Cerchio Si dice cerchio la parte di piano costituita dai punti di una circonferenza e dai punti interni ad essa. Osservazione: la circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie! Proprietà: due circonferenze o due cerchi che hanno raggi congruenti sono congruenti e, viceversa, due circonferenze o due cerchi congruenti hanno raggi congruenti. Def. Corda Si dice corda di una circonferenza ogni segmento che unisce due suoi punti. Def. diametro Si dice diametro ogni corda passante per il centro. Osservazione: ogni diametro è il doppio del raggio e quindi tutti i diametri sono congruenti. Proprietà: ogni corda non passante per il centro è minore del diametro. Il diametro è la corda massima. Dim. Consideriamo una circonferenza di centro O e due suoi punti A e B. Tracciamo la corda AB e i segmenti OA e OB. Si ottiene il triangolo AOB. Poiché in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due, AB < OA + OB, cioè AB < diametro. Teorema: la perpendicolare condotta per il centro di una circonferenza a una corda divide la corda a metà. Dim. Consideriamo una circonferenza di centro O e due suoi punti A e B. Tracciamo la corda AB e i segmenti OA e OB. Si ottiene il triangolo AOB. Tale triangolo è isoscele poiché 𝐴𝑂 ≅ 𝑂𝐵 in quanto raggi della stessa circonferenza. Tracciamo l’altezza 𝑂𝐻 relativa alla base 𝐴𝐵. Poiché il triangolo è isoscele, l’altezza dimezza la base e quindi 𝐴𝐻 ≅ 𝐻𝐵. Vale anche il teorema inverso: la perpendicolare a una corda condotta per il suo punto medio (ASSE DELLA CORDA) passa per il centro della circonferenza a cui appartiene la corda. Def. Arco Si dice arco di circonferenza ciascuna delle due parti in cui una circonferenza risulta divisa da due suoi punti che si dicono estremi dell’arco e si considerano appartenenti all’arco stesso. L’arco di estremi A e B si indica con 𝐴𝐵. La corda che unisce gli estremi dell’arco si dice che sottende l’arco; al contrario si dice che l’arco è sotteso dalla corda. Proprietà: in una circonferenza o in circonferenze congruenti, archi congruenti sono sottesi da corde congruenti. Osservazione: Se la corda è un diametro, la circonferenza si divide in due archi congruenti chiamati semicirconferenze. Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza: 1. Retta esterna, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio r. 𝑑 > 𝑟 2. Retta tangente, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è congruente al raggio r. 𝑑 = 𝑟 3. Retta secante, se la distanza d della retta dal centro della circonferenza è minore del raggio r. 𝑑 < 𝑟 Proprietà: La tangente a una circonferenza in un punto della circonferenza è perpendicolare al raggio avente un estremo in quel punto, detto punto di tangenza. Posizioni reciproche di due circonferenze: 1. circonferenze esterne: non hanno punti in comune e la distanza d tra i loro centri è maggiore della somma dei raggi: 𝑑 > 𝑟! + 𝑟! 2. circonferenze tangenti esternamente: hanno un solo punto in comune e la distanza tra i loro centri è congruente alla somma dei raggi: 𝑑 = 𝑟! + 𝑟! 3. circonferenze secanti: hanno due punti in comune e la distanza tra i loro centri è minore alla somma dei raggi e maggiore della loro differenza: 𝑑 < 𝑟! + 𝑟! e 𝑑 > 𝑟! − 𝑟! 4. circonferenze tangenti internamente: hanno un solo punto in comune e la distanza tra i loro centri è congruente alla differenza dei raggi: 𝑑 = 𝑟! − 𝑟! 5. circonferenze l’una interna all’altra: non hanno alcun punto in comune e la distanza tra i loro centri è minore alla differenza dei raggi: 𝑑 < 𝑟! − 𝑟! 6. circonferenze concentriche: non hanno alcun punto in comune e hanno lo stesso centro. Def. Corona circolare La parte di piano limitata da due circonferenze concentriche di raggi diversi è detta corona circolare. Def. Angolo al centro Si dice angolo al centro ogni angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza. Si dice che l’angolo al centro 𝐴𝑂𝐵 insiste sull’arco 𝐴𝐵 o che corrisponde all’arco 𝐴𝐵. Proprietà: A ogni angolo al centro corrisponde un solo arco e viceversa. Proprietà: Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa. Def. Angolo alla circonferenza Si dice angolo alla circonferenza ogni angolo che ha il vertice in un punto della circonferenza e i lati che passano per altri due punti della circonferenza. Proprietà: ogni angolo alla circonferenza individua un solo arco su cui insiste. Viceversa, a uno stesso arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza. Proprietà: tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono congruenti. Def. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza che insistono su uno stesso arco si dicono corrispondenti. Proprietà: ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro corrispondente. Proprietà: ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto. Proprietà: in ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa. Def. Settore circolare Si dice settore circolare ciascuna delle due parti in cui un cerchio risulta diviso da due suoi raggi, che si considerano appartenenti al settore. Def. Segmento circolare Si dice segmento circolare a una base ciascuna delle parti in cui un cerchio risulta diviso da una sua corda, che si considera appartenente al segmento circolare. Def. Segmento circolare a due basi Si dice segmento circolare a due basi la parte di cerchio limitata da due sue corde parallele e dai due archi di circonferenza tra esse compresi. Le due corde si considerano appartenenti al segmento circolare a due basi. Def. semicerchio Il semicerchio è ciascuna delle due parti in cui un diametro divide il cerchio.