Liceo Scientifico Leonardo da Vinci
PROVA DI MATEMATICA CLASSI QUINTE
30/1/2008
Il candidato risolva, a sua scelta, uno dei seguenti problemi e risponda a cinque
quesiti del questionario:
PROBLEMA 1
Sia P un punto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB 2 , sia H la proiezione di P su
OB, e sia Q il punto in cui la semiretta AP incontra la tangente in B.
a. Posto AH x , determinare la funzione f x che esprime il rapporto delle aree di APH e
del trapezio PQBH.
b. Verificato che si ottiene f x
x2
studiare e rappresentare graficamente la funzione
4 x2
ottenuta, evidenziando la parte relativa ai limiti del problema.
c. Determinare l’equazione della tangente al grafico di f x nel punto di ascissa x 1 e le
coordinate dell’ulteriore punto di intersezione con la curva.
d. Determinare l’equazione della circonferenza passante per l’origine e per i due punti della
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curva di ordinata .
5
e. Trovare l’area del pentagono avente per vertici le intersezioni della curva con la
circonferenza.
PROBLEMA 2
In una circonferenza di diametro 2r è data la corda PQ r 2 e sia R il punto diametralmente
opposto a P; prendere sulla circonferenza due punti T e S simmetrici rispetto al diametro PR in
modo che S appartenga all’arco PQ, e porre l’angolo PRS=x.
a. Determinare la misura degli angoli al centro e alla circonferenza che insistono su PQ, e
trovare le limitazioni geometriche sull’angolo x.
b. Trovare per quali valori di x la corda TR è parallela alla corda QS e trovare quale è la misura
della corda QS in tale caso.
PQ QS
c. Esprimere in funzione di x il rapporto
, e calcolare il limite a cui tende tale
ST
rapporto al tendere di S a P e al tendere di S ad Q.
d. Posto il rapporto precedentemente trovato uguale ad f(x) e prescindendo dai limiti
geometrici, stabilire per quali x il suo grafico si trova nel semipiano y>0 e per quali x nel
semipiano y<0.
e. Classificare le discontinuità della funzione y=f(x), limitandosi a quelle comprese in un
intervallo di periodicità.
QUESITI
1)
Trovare gli asintoti della curva di equazione y x 2 1 x , eventualmente rappresentarla.
2)
Determinare che condizioni deve soddisfare a perché la seguente funzione sia continua in
x=0:
2x 1
x0
ax
y
2
x 1 x 0,
2 x 2 2
La funzione così determinata ha uno o più asintoti orizzontali?
3)
Dato un rettangolo ABCD i cui lati misurano a e b e la cui diagonale forma un angolo con
uno dei lati, preso un qualsiasi punto P sulla diagonale AC, si dimostri che i triangoli formati
da P con i lati AD e AB sono equivalenti.
4)
Si considerino le tre affermazioni seguenti:
Tutte le funzioni periodiche sono dispari
Nessuna funzione periodica è dispari
Solo una funzione periodica può essere dispari
Dire se è vero che le tre affermazioni sono tutte false , argomentando adeguatamente la risposta.
5)
Determinare i valori dei parametri h e k in modo che il grafico della funzione
kx2 4
y
(k 1) x 2 h 1
1
abbia asintoto orizzontale y e asintoti verticali x=1. Disegnare il grafico probabile della
2
funzione così determinata.
sen( x)
1
x
6)
Dimostrare che lim
7)
Enunciare la definizione di derivata, e applicarla per trovare la derivata della funzione
x 0
y x 2 5 in un generico punto x del suo dominio.
8)
9)
10)
Determinare il dominio della funzione y log 2 x log 8 5x 4
2 x 2
lim
log
Si spieghi perché non esiste il
x
3x 2 x 2
risposta.
motivando
opportunamente
la
Due cariche positive uguali di intensità q sono poste negli estremi della base AB di un
triangolo isoscele di lato d che ha angolo al vertice di 45. Disegnare e calcolare il campo
elettrico nel vertice C del triangolo.
