Data l`iperbole di equazione , - area di lavoro della prof.ssa Di Vito

Liceo Scientifico Leonardo da Vinci
PROVA DI MATEMATICA CLASSI QUINTE
30/1/2008
Il candidato risolva, a sua scelta, uno dei seguenti problemi e risponda a cinque
quesiti del questionario:
PROBLEMA 1
Sia P un punto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB  2 , sia H la proiezione di P su
OB, e sia Q il punto in cui la semiretta AP incontra la tangente in B.
a. Posto AH  x , determinare la funzione f  x  che esprime il rapporto delle aree di APH e
del trapezio PQBH.
b. Verificato che si ottiene f  x  
x2
studiare e rappresentare graficamente la funzione
4  x2
ottenuta, evidenziando la parte relativa ai limiti del problema.
c. Determinare l’equazione della tangente al grafico di f  x  nel punto di ascissa x  1 e le
coordinate dell’ulteriore punto di intersezione con la curva.
d. Determinare l’equazione della circonferenza passante per l’origine e per i due punti della
9
curva di ordinata  .
5
e. Trovare l’area del pentagono avente per vertici le intersezioni della curva con la
circonferenza.
PROBLEMA 2
In una circonferenza di diametro 2r è data la corda PQ  r 2 e sia R il punto diametralmente
opposto a P; prendere sulla circonferenza due punti T e S simmetrici rispetto al diametro PR in
modo che S appartenga all’arco PQ, e porre l’angolo PRS=x.
a. Determinare la misura degli angoli al centro e alla circonferenza che insistono su PQ, e
trovare le limitazioni geometriche sull’angolo x.
b. Trovare per quali valori di x la corda TR è parallela alla corda QS e trovare quale è la misura
della corda QS in tale caso.
PQ  QS
c. Esprimere in funzione di x il rapporto
, e calcolare il limite a cui tende tale
ST
rapporto al tendere di S a P e al tendere di S ad Q.
d. Posto il rapporto precedentemente trovato uguale ad f(x) e prescindendo dai limiti
geometrici, stabilire per quali x il suo grafico si trova nel semipiano y>0 e per quali x nel
semipiano y<0.
e. Classificare le discontinuità della funzione y=f(x), limitandosi a quelle comprese in un
intervallo di periodicità.
QUESITI
1)
Trovare gli asintoti della curva di equazione y  x 2  1  x , eventualmente rappresentarla.
2)
Determinare che condizioni deve soddisfare a perché la seguente funzione sia continua in
x=0:
 2x  1
x0
 ax

y
2

  x  1 x  0,
 2 x 2  2
La funzione così determinata ha uno o più asintoti orizzontali?
3)
Dato un rettangolo ABCD i cui lati misurano a e b e la cui diagonale forma un angolo  con
uno dei lati, preso un qualsiasi punto P sulla diagonale AC, si dimostri che i triangoli formati
da P con i lati AD e AB sono equivalenti.
4)
Si considerino le tre affermazioni seguenti:
 Tutte le funzioni periodiche sono dispari
 Nessuna funzione periodica è dispari
 Solo una funzione periodica può essere dispari
Dire se è vero che le tre affermazioni sono tutte false , argomentando adeguatamente la risposta.
5)
Determinare i valori dei parametri h e k in modo che il grafico della funzione
kx2  4
y
(k  1) x 2  h  1
1
abbia asintoto orizzontale y  e asintoti verticali x=1. Disegnare il grafico probabile della
2
funzione così determinata.
sen( x)
1
x
6)
Dimostrare che lim
7)
Enunciare la definizione di derivata, e applicarla per trovare la derivata della funzione
x 0
y  x 2  5 in un generico punto x del suo dominio.
8)
9)
10)
Determinare il dominio della funzione y  log 2 x  log 8 5x  4

2  x 2 

lim
log
Si spieghi perché non esiste il
x 
3x  2  x 2 

risposta.
motivando
opportunamente
la
Due cariche positive uguali di intensità q sono poste negli estremi della base AB di un
triangolo isoscele di lato d che ha angolo al vertice di 45. Disegnare e calcolare il campo
elettrico nel vertice C del triangolo.