Esercizi di Meccanica Hamiltoniana

1. Una particella di massa unitaria si muove lungo l’asse Ox in assenza di forze. A partire
dalla descrizione hamiltoniana in tale sistema di riferimento,
(a) si verifichi la canonicità della trasformazione (x, p) −→ (X, P ):
X = x + pt2 ;
P =p
e si scriva la nuova Hamiltoniana K(X, P );
(b) si risolva la corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi, esplicitando la soluzione
del moto X = X(X0 , P0 , t).
2. Si consideri un oscillatore armonico bidimensionale di massa unitaria, descritto dalla
funzione di Lagrange
1
1
L = (q̇12 + q̇22 ) − (q12 + q22 )
2
2
e si scriva la corrispondente funzione di Hamilton.
(a) Si applichi alle equazioni di Hamilton del sistema la trasformazione
Qi = qi ;
P1 = p2 ;
P2 = p1
e si verifichi che il sistema trasformato è ancora hamiltoniano; si commenti la
canonicità della trasformazione.
(b) Si scriva l’equazione di Hamilton-Jacobi per il nuovo sistema hamiltoniano.
3. Una particella di massa unitaria si muove nello spazio, soggetta a una forza costante di
modulo γ, diretta come l’asse Oz. Si scriva la funzione di Hamilton del sistema e
(a) si verifichi che la funzione
G = γx + px pz
genera una simmetria per H.
(b) si discuta la costruzione della trasformazione canonica finita per esponenziazione di
tale simmetria.
4. Una particella di massa m si muove nel piano Oxy sotto l’azione di una forza di modulo costante F , diretta come l’asse Ox; si consideri inoltre, nelle variabili canoniche
x, y, px , py , l’operatore differenziale:
b = F ∂ − py ∂ − px ∂ .
G
∂py
m ∂x m ∂y
b relativo a
(a) Si verifichi che l’applicazione successiva dell’operatore hamiltoniano H
b alle variabili canoniche, H(
b G(z)),
b
questo sistema e dell’operatore G
è commutativa;
b e si verifichi
(b) si scriva esplicitamente la simmetria dell’Hamiltoniana generata da G
che la corrispondente funzione generatrice è una costante del moto.
1
5. Una particella carica di massa unitaria si muove in un campo magnetico costante (di
modulo B) diretto come l’asse x3 e in un campo elettrico costante (di modulo E), diretto
come l’asse x1 . Facendo uso dei potenziali vettore e scalare
A = Bx1 e2 ;
V = −Ex1 ,
(a) si discuta l’integrabilità della corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi;
b l’evoluzione temporale
(b) si determini, mediante l’esponenziazione dell’operatore H,
della funzione
x23
F (x3 (t), p3 (t)) = .
p3
6. Il moto di una particella sull’asse Ox è descritto dall’Hamiltoniana
H=
p2
k
p
+ x2 + A ,
2m 2
x
A ∈ R.
(a) Si scriva l’espressione della forza (posizionale) a cui è soggetta la particella;
(b) si scrivano le equazioni di Hamilton nelle nuove variabili:
1 p2
x
2
P =
+ λx ,
Q = arctan λ ;
p
2 λ
(λ ∈ R)
7. Il moto di una particella di massa unitaria sull’asse Ox è descritto dall’Hamiltoniana
p2
+ V (x)
2
H=
(a) Si consideri la trasformazione di scala
Q = βx;
P = αp
βα ∈ R
e si mostri che è canonoide rispetto ad H, determinando la nuova hamiltoniana
K(Q, P );
(b) si verifichi se esistono condizioni su β e α per cui le equazioni differenziali del moto
sono invarianti.
8. Si determini per quali valori delle costanti α e β le seguenti equazioni
ṗ1 = 0;
ṗ2 = 0;
q̇1 = p1 + p2 ;
q̇2 = αp1 − 2p2 − βq24 ,
α, β ∈ R
sono equazioni di Hamilton. Si scriva la funzione di Hamilton e
(a) si determini la corrispondente funzione di Lagrange;
(b) si dica per quale funzione λ = λ(p1 , p2 ) è costante durante il moto hamiltoniano la
funzione
G = q1 + tλ(p1 , p2 ).
2
9. Una particella di carica q e massa unitaria si muove in un campo magnetico il cui potenziale vettore è
A = f (x1 )e3
mentre è nullo il potenziale scalare φ.
(a) Si scriva per il sistema l’operatore hamiltoniano
b = ∂H Γ ∂ ;
H
∂z ∂z
(b) mediante esponenziazione di tale operatore si studi l’evoluzione temporale della
funzione
x2
F = 2
2p2
10. Sia
1 2 q2B 2 2
2
p +
(x1 + x2 ) + qB(p1 x2 − x1 p2 )
H=
2
4
la funzione di Hamilton di una particella di carica q e massa unitaria in moto in un campo
magnetico costante, e campo elettrico nullo.
Si applichi al sistema la trasformazione (lineare) di punto (x1 , x2 , x3 ) → (Q1 , Q2 , Q3 )
  α cos ϕ sin ϕ 0  


x1
Q1
1

 x2  = 
cos ϕ 0   Q2 
 − sin ϕ
α
x3
Q3
0
0
1
dove α ∈ R e ϕ è un angolo assegnato, e si scriva la nuova hamiltoniana K(Q, P ); si
discuta se, per qualche valore di α, K(Q, P ) ha la stessa forma funzionale di H e dunque
la trasformazione è una simmetria (finita) dell’hamiltoniana.
11. Si consideri nello spazio delle fasi bidimensionale la generica trasformazione lineare
invertibile, insieme con la sua inversa:
1
Q
α β
δ −β
q
Q
q
=
;
; ∆ = αδ−βγ 6= 0.
=
P
γ δ
p
P
p
∆ −γ α
(a) Si individui quali di queste trasformazioni sono canonoidi per l’oscillatore armonico
unidimensionale;
(b) si verifichi se tra le canonoidi individuate esistono trasformazioni canoniche.
12. Una particella è vincolata nel piano Oxy e la sua evoluzione dinamica è descritta dalla
funzione di Hamilton
p2
H = x + p2y − px py − 2y.
2
b e si valuti la serie
(a) Si scriva l’operatore hamiltoniano H
variabile canonica;
3
b
z(t) = e−tH z 0
per ogni
(b) si scriva la nuova hamiltoniana K dopo aver eseguito la trasformazione di coordinate
X = x;
e si verifichi che
1
Y = (x + y)
2
[px , K] = 0
dove px = px (X, Y, PX , PY ) è espresso nelle nuove coordinate.
13. Si consideri la trasformazione di coordinate dello spazio delle fasi (q, p) −→ (Q, P ),
1
Q = q 2 p;
2
P = f (q)
(a) Si determini per quale funzionef (q) tale trasformazione è canonica;
(b) si applichi tale trasformazione all’hamiltoniana di una particella libera e si verifichi che la nuova hamiltoniana K = K(Q, P ) è invariante per le trasformazioni
infinitesime generate dalla quantità di moto
p = p(Q, P ).
14. Le particelle P1 e P2 , di ugual massa, sono vincolate a muoversi, rispettivamente, sull’asse
Ox e sull’asse Oy di un sistema di riferimento ortogonale di un piano orizzontale. Le due
particelle esercitano una sull’altra una forza diretta come la loro congiungente e di modulo
F (r) = e−r − 1
dove r è la distanza tra i due punti.
(a) Si scriva la funzione di Hamilton per il sistema, scegliendo come variabili lagrangiane
r e l’angolo θ che il segmento (P2 − P1 ) forma con l’asse Ox;
(b) si discuta l’equazione di Hamilton Jacobi.
15. Una particella di massa unitaria si muove nel piano Oxy soggetta alla forza

α 
−k(t)x + 3
x 

,
F=
α ∈ R.

α 
−k(t)y + 3
y
(a) Si scriva la funzione di Hamilton per il sistema;
(b) si espliciti la trasformazione canonica infinitesima generata da
G=α
x4 + y 4
+ (xpy − ypx )2
x2 y 2
e si mostri che tale trasformazione è una simmetria per H.
4
16. La funzione di Lagrange per un moto unidimensionale ha la forma
L =
ẋ2 f (x)
e .
2
b corrispondente a tale moto e
Si scriva l’operatore hamiltoniano H
b commuta con l’operatore associato alla funzione generatrice
(a) si verifichi se H
G = f (x) − 2 ln p.
(b) Si determini la forma di f (x) per la quale lo sviluppo in serie
b
p(t) = e−tH p0
si arresta al primo ordine e si commenti il risultato.
17. Un sistema di coordinate cartesiano ortogonale Ox1 x2 x3 di un osservatore inerziale viene
trasformato nel sistema rotante Oy1 y2 y3 secondo la seguente equazione:


 

y1
cos ωt − sin ωt 0
x1
 x2  =  sin ωt cos ωt 0   y2  ;
y3
0
0
1
x3
(a) si discuta la canonicità di tale trasformazione, determinandone la funzione generatrice;
(b) si applichip
tale trasformazione al moto di una particella soggetta a forze centrali
(V = V ( x21 + x22 )) e si scriva la funzione di Hamilton nel nuovo sistema di
coordinate;
(c) si discuta la conservazione di tale hamiltoniana.
18. Una particella di massa unitaria si muove nel piano Oxy e la sua dinamica è descritta
dalla funzione di Hamilton
k2
k
p2x p2y 1
+
+
+ 2
(xpy − ypx );
H=
2
2
2
2
2 (x + y ) x + y 2
(a) si scriva la funzione di Hamilton in coordinate polari, eseguendo l’usuale trasformazione
x = ρ cos θ;
y = ρ sin θ;
(b) si scriva la corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi e se ne discuta la separabilità.
19. La funzione di Lagrange
ẋ2
d
+ (f (x))
2
dt
descrive il moto di una particella libera, di massa unitaria, qualsiasi sia la funzione f (x).
L =
Si scrivano la funzione di Hamilton e le equazioni di Hamilton corrispondenti a tale
lagrangiana e:
5
(a) si applichi a tali equazioni la trasformazione di coordinate (x, p) −→ (Q, P ):
2
df
,
Q = x;
P = p−
dx
discutendo se tale trasformazione possa essere canonoide rispetto all’hamiltoniana
data;
(b) si discuta la canonicità di tale trasformazione.
20. Le equazioni del moto di una particella nello spazio delle fasi bidimensionale di coordinate x, p sono:
ẋ = F (t)p + (a − 1)x
dG
ṗ = −F (t)
dx
dove a ∈ R, e le funzioni F e G dipendono, come è indicato, rispettivamente da t e da x.
(a) si trovi per quali valori di a tali equazioni sono canoniche e si scriva la corrispondente funzione di Hamilton;
(b) si risolva per tale hamiltoniana l’equazione di Hamilton Jacobi.
21. Si mostri che la trasformazione
P = p2 − f (q)
Q = q;
p2
per ogni scelta di f (q). Si
2
determini la nuova hamiltoniana K = K(Q, P ) e si studi la corrispondente equazione di
Hamilton-Jacobi
∂S
K+
= 0.
∂t
è canonoide per l’hamiltoniana della particella libera H =
22. Sia V = θ̇ρ l’energia potenziale generalizzata di una particella che si muove su un piano
i cui punti sono individuati dalle coordinate polari ρ e θ.
(a) si riduca il numero di variabili lagrangiane con il metodo di Routh;
(b) a partire dalla funzione di Routh, si scriva la corrispondente equazione di HamiltonJacobi, discutendone la risolubilità.
23. Una particella carica si muove in un campo magnetico costante, diretto come l’asse Oz. Si
descriva il sistema facendo uso delle coordinate cilindriche ρ, θ, z e dei momenti coniugati
pρ , pθ , pz , e in tale sistema di coordinate
(a) si scrivano gli operatori
b che genera il moto infinitesimo del sistema;
i. H
b che genera le rotazioni infinitesime attorno all’asse Oz;
ii. L
6
iii. Pb che genera le traslazioni infinitesime lungo l’asse Oz;
(b) si verifichi se si annullano i commutatori
b L],
b
[H,
b Pb],
[H,
b Pb]
[L,
24. Una particella di massa unitaria si muove in un piano, soggetta a una forza di potenziale
U=
cos θ
.
ρ2
Si scriva per il sistema la funzione di Hamilton H = H(ρ, θ, pρ , pθ ) e
(a) si verifichi che la trasformazione infinitesima
δθ = ǫpθ
δpθ = −ǫ sin θ
(1)
è canonica e lascia invariata in forma la funzione di Hamilton;
b della (1), l’operatore hamiltoniano H
b relati(b) si scrivano il generatore infinitesimo G
vo al moto del sistema e si verifichi se essi commutano con l’operatore
pbρ .
25. Una particella di massa unitaria si muove su una retta soggetta a una forza costante,
cosicché la corrispondente funzione di Hamilton è:
H=
p2
− x.
2
Si trovi la funzione generatrice della trasformazione canonica
(x, p) −→ (X, P )
che soddisfa ai seguenti requisiti:
(a)
1
P = ;
p
(b) nelle nuove coordinate, il sistema è descritto dalla funzione di Hamilton
K = XP 2 .
26. Una particella di massa unitaria si muove nello spazio soggetto a una forza di potenziale
−
f (θ)
+ g(z)
ρ2
dove ρ, θ, z sono le coordinate cilindriche.
Si consideri la trasformazione infinitesima
df (θ)
;
δθ = ǫpθ ; δpθ = −ǫ
dθ
Dopo averne verificato la canonicità,
7
δz = ǫt;
δpz = ǫ
(a) si valuti la variazione in forma dell’Hamiltoniana per effetto di tale trasformazione;
(b) si trovi una condizione sotto la quale la trasformazione è una simmetria dell’Hamiltoniana
27. La funzione di Hamilton che descrive il moto di una particella di massa unitaria è
p2 1
− qp.
2
t
Si esegua la trasformazione di coordinate (q, p) −→ (Q, P )
p
Q = tq,
P =
t
(a) Verificata la canonicità di tale trasformazione, si scriva la nuova hamiltoniana K(Q, P, t)
per il nuovo sistema canonico;
(b) si risolva l’equazione di Hamilton-Jacobi relativa a K.
H(q, p, t) =
28. La funzione di Hamilton che descrive il moto di un sistema a un grado di libertà è
H(q, p, t) =
a2 t2 p2 q 2 qp
+ ,
−
2 q2
2
2t
a ∈ R.
Si esegua la trasformazione di coordinate di punto (q, p) −→ (Q, P ) caratterizzata da
q2
.
2at
(a) Si scriva la nuova hamiltoniana K(Q, P, t) ottenuta per effetto di tale trasformazione
e la corrispondente equazione di Hamilton-Jacobi;
(b) si discuta se la funzione
Q=
S(Q, α, t) = bt2 Q + αQ + λ(t),
b ∈ R,
rappresenta l’integrale completo per tale equazione.
29. La funzione di Lagrange di una particella carica in moto in un campo magnetico costante
e in un campo elettrico nullo è
m 2
B
(ẋ1 + ẋ22 ) + q (x1 ẋ2 − ẋ1 x2 )
2
2
(dove: B = Be3 , m la massa, q la carica; per semplicità assumiamo ẋ3 (0) = 0). Tenendo
conto dell’arbitrarietà del potenziale vettore, una lagrangiana (gauge-)equivalente a L1 è
palesemente
m
L2 = (ẋ21 + ẋ22 ) + q(f (x1 )ẋ1 + Bx1 ẋ2 )
2
dove f = f (x1 ) è completamente arbitraria. Siccome è noto che la funzione
L1 =
qB 2
(x + x22 )
2 1
è costante durante il moto, si verifichi se, in ambito hamiltoniano, essa genera una simmetria anche per la funzione di Hamilton ricavata da L2 . Si verifichi inoltre se tale risultato
dipende dalla funzione f (x1 ).
G = m(x1 ẋ2 − x2 ẋ1 ) +
8
30. Esercizio 7.10 Goldstein pag. 455
(a) Una particella carica si muove nello spazio sotto l’azione di un potenziale conservativo. Si imposti l’equazione di Hamilton-Jacobi in coordinate ellissoidali u, v, φ
definite in funzione delle usuali coordinate cilindriche ρ, z e φ da
ρ = a sinh v sin u
φ=φ
z = a cosh v cos u.
Si dica per quali forme di V (u, v, φ) l’equazione è separabile.
(b) Si utilizzino i risultati del punto (a) per ridurre alle quadrature il problema di una
particella puntiforme di massa m che si muove nel campo gravitazionale di due
particelle con masse diverse tra loro, fissate sull’asse z a distanza reciproca 2a.
SOLUZIONI
1. La funzione di Hamilton, ovviamente, è H =
p2
.
2
(a) Le condizioni
∂F2
=P
∂x
∂F2
= x + P t2
X=
∂P
p=
P 2 t2
risultano soddisfatte da F2 = xP +
. Allora,
2
∂F2
=
K(X, P ) = H(x, p) +
∂t
1
t+
2
P2 .
(b) L’equazione di Hamilton-Jacobi
∂S
∂X
2
+
2 ∂S
=0
2t + 1 ∂t
è a variabili separabili. Infatti, se scriviamo la soluzione come
S(X, α, t) = WX (X, α) + Wt (t, α),
si ha
Dunque,
∂WX
∂X
2
= α2 = −
2 ∂Wt
.
2t + 1 ∂t
t
S = WX + Wt = αX − (t + 1) α2 .
2
9
Allora, valutando all’istante iniziale t = 0 le relazioni tra le variabili
∂S
= X − α(t + 1)t
∂α
∂S
P =
= α,
∂X
β =
otteniamo
β = X 0 = X(0);
α = P 0 = P (0)
e la soluzione
X = X 0 + P 0 (t + 1)t
Osservazione: naturalmente tale soluzione, tornando alle coordinate originarie, si trasforma in
x + pt2 = x0 + p0 (t + 1)t =⇒ x = x0 + p0 t,
come deve essere per la particella libera.
2. La funzione di Hamilton è
1
1
H = (p21 + p22 ) + (q12 + q22 )
2
2
con equazioni del moto
q̇i = pi ;
ṗi = −qi ,
i = 1, 2
La trasformazione non è ovviamente canonica, basta considerare che
[Q1 , P1 ] = [q1 p2 ] = 0.
La trasformazione è però canonoide. Infatti, dalla trasformazione delle equazioni differenziali del moto, si ottiene che
∂Q1
q̇1 = P2
∂q1
∂Q2
=
q̇2 = P1
∂q2
∂P1
ṗ2 = −Q2
=
∂p2
∂P1 2
ṗ1 = −Q1
=
∂p1
Q̇1 =
Q̇2
Ṗ1
Ṗ2
che rappresentano le equazioni di Hamilton per la funzione
K = P1 P2 + Q1 Q2 .
La conseguente equazione di Hamilton-Jacobi è
∂S
∂S
+ Q1 Q2 = α
∂Q1
∂Q2
10
3. La funzione di Hamilton è
infinitesime
H =
p2
+ γz; la funzione G genera le trasformazioni
2
δx = δλpz
δy = 0
δz = δλpx
δpx = −δλγ
δpy = 0
δpz = 0
G genera una simmetria per H ed è una costante del moto poiché, come è immediato
verificare,
[G, H] = γpx − px γ = 0
1 2
PX + PY2 + PZ2 − δλγPX + δλγpx + γZ =⇒ ∆H = 0.
K=
2
Per quel che concerne il secondo punto, tenendo conto che
b = γ ∂ − pz ∂ − px ∂ ,
G
∂px
∂x
∂z
x
y
z
px
py
pz
b2
G
0
0
−γ
0
0
0
x(λ) = x0 + λpz
y(λ) = y 0
2
z(λ) = z 0 + λpx − γ λ2
e, dunque,
4.
b
G
−pz
0
−px
γ
0
0
b3
G
0
0
0
0
0
0
px (λ) = p0x − λγ
py (λ) = p0y
pz (λ) = p0z
(a) Prima questione.
b = F ∂ − px ∂ − py ∂ ,
H
∂px
m ∂x m ∂y
p b G(x))
b
b − y =0
b H(x))
b
b − px = 0
H(
=H
G(
=G
pm pm F
x
b G(y))
b
b −
b H(y))
b
b − y = −F
H(
=H
G(
=G
=−
m
m
m
m
b G(p
b x )) = H(0)
b
b H(p
b x )) = G(F
b )=0
H(
=0
G(
b G(p
b y )) = H(F
b )=0
b H(p
b y )) = G(0)
b
H(
G(
=0
Siccome
concludiamo che la commutatività è soddisfatta. In realtà il risultato è generalizzabile a ogni arbitraria f (x, y, px , pz ):
∂f
py ∂f
px ∂f
px ∂f
py ∂f
∂f
b
b
b
b
b
b
H(G(f )) = H F
−
−
−
−
= G(H(f )) = G F
∂py
m ∂x m ∂y
∂px
m ∂x m ∂y
11
(b) Seconda questione. Rispondendo alla prima questione si è già stabilito che
py
δx = δλ
m
δpx = 0
px
δy = δλ
m
δpy = −δλF
1
1 2
1
2
p + py + F x = 0,
da cui
G = F y+ px py =⇒ [G, H] = F y + px py ,
m
m
m x
che dimostra la conservazione di G e ribadisce il suo ruolo di generatrice di una
simmetria.
5.
(a) Prima questione.
La funzione di Lagrange del sistema è
1
L = ẋ2 + qEx1 + qBx1 ẋ2
2
e le trasformazioni di Legendre (dirette e inverse) sono:


 ẋ1 = p1
 p1 = ẋ1
ẋ2 = p2 − qBx1
p2 = ẋ2 + qBx1
←→


ẋ3 = p3
p3 = ẋ3
Conseguentemente, la funzione di Hamilton e l’operatore hamiltoniano sono, rispettivamente,
1 2
H=
p1 + (p2 − qBx1 )2 + p23 − qEx1
2
b = (qB(qBx1 − p2 ) − qE) ∂ − p1 ∂ − (p2 − qBx1 ) ∂ − p3 ∂ .
H
∂p1
∂x1
∂x2
∂x3
L’equazione di Hamilton Jacobi è dunque:
"
2 2 #
2 ∂S
∂S
∂S
∂S
1
− qBx1 +
− qEx1 +
= 0;
+
2
∂x1
∂x2
∂x3
∂t
siccome le variabili t, x2 e x3 sono cicliche, poniamo
S(x, αi ) = −α1 t + α2 x2 + α3 x3 + W (x1 , αi )
e, sostituendo, otteniamo
"
#
2
∂W
1
+ (α2 − qBx1 )2 + α32 − qEx1 = α1 ;
2
∂x1
il problema è allora ridotto alla quadratura:
Z
q
W = dx1 2α1 − α32 + qEx1 − (α2 − qBx1 )2
12
(b) Seconda questione.
La proiezione del moto lungo l’asse x3 ha una velocità costante, essendo x3 ciclica
e p3 conseguentemente costante:
p3 = p03
x3 = x03 + p03 t.
Rispondendo alla seconda domanda, si ottiene proprio che:
2
∂
∂
∂
∂
x3
b ) = (qB(qBx1 − p2 ) − qE)
H(F
− p1
− (p2 − qBx1 )
− p3
∂p1
∂x1
∂x2
∂x3
p3
= −2x3
b 2 (F ) = 2p3 ;
=⇒ H
da cui, infine,
b 3 (F ) = 0
H
(x0 )2
(x0 + p0 t)2
1
x23
(t) = 30 − (−2x03 )t + 2p03 t2 = 3 0 3
p3
p3
2!
p3
A
permette di scrivere la funzione di
6. La trasformazione di Legendre p = m ẋ −
x
Lagrange direttamente come
2
A
k
m
ẋ −
− x2
L =
2
x
2
sfruttando il fatto che il termine lineare in p si semplifica. Si noti inoltre che, anche
se apparentemente il termine lineare in ẋ fa presupporre l’esistenza di un potenziale
generalizzato, in realtà la lagrangiana espressa nella forma
m 2 m A2 k 2
d
ẋ +
− x + (−mA ln x)
2
2
2 x
2
dt
è gauge-equivalente a quella di una particella che si muove sull’asse Ox soggetta alla
forza posizionale
A2
m A2 k 2
∂
=
−m
−
x
+
− kx
F·i=−
∂x
2 x2
2
x3
L =
La trasformazione è canonica come si può direttamente verificare:
[Q, P ] =
p2
λ 2 x2
+
=1
p 2 + λ2 x2 p 2 + λ2 x2
Invertendo la trasformazione,
λ2 x2 = p2 tan2 Q ⇒ p2 =
√
2λP
2λP cos Q;
=⇒
p
=
1 + tan2 Q
Le equazioni del moto sono dunque quelle relative all’hamiltoniana
k
λ
2
2
cos Q + sin Q P + Aλ cotan Q
K=
m
λ
13
x=
sin Q √
2λP
λ
7.
(a) Essendo Q = βq;
P = αp, si deduce che, ponendo H ′ (Q, P ) = H(q, p),
∂H
∂H ′ (Q, P ) ∂P
∂H ′ (Q, P )
∂K
=β
= αβ
=
∂p
∂P
∂p
∂P
∂P
′
′
∂H (Q, P ) ∂Q
∂H (Q, P )
∂K
∂H
= −α
= −αβ
=−
Ṗ = αṗ = −α
∂q
∂Q
∂q
∂Q
∂Q
Q̇ = β q̇ = β
La soluzione del problema è
K(Q, P ) = αβH ′ (Q, P ),
da cui si vede che le trasformazioni di scala sono canonoidi per tutte le hamiltoniane.
In particolare, relativamente al problema in esame,
K(Q, P ) = αβ
1 P2
+ V ′ (Q)
2 α2
(b) Le equazioni di Hamilton implicano:
d ∂K
β
β
Q̈ =
= Ṗ =
dt ∂P
α
α
∂V ′ (Q)
−αβ
∂Q
e la richiesta di simmetria è allora soddisfatta se e solo se:
β2
∂V (Q)
∂V ′ (Q)
=
∂Q
∂Q
ma questo comporta, a parte una costante additiva,
1
Q
′
= 2 V (Q).
V (Q) = V
β
β
Dunque, ci sono 2 possibilità:
i. β = 1
(banale)
ii. V (Q) ∝ Q2
in quest’ultimo caso, V è una funzione omogenea di grado 2; il sistema è un oscillatore armonico.
8. Le prime due equazioni impongono che H, se esiste, non dipende esplicitamente dalle
coordinate, ma solo dai momenti; dunque, comunque, β = 0. Inoltre, l’integrazione della
terza equazione fornisce
H=
p21
+ p1 p2 + C(p2 ),
2
C funzione arbitraria
Il confronto con l’ultima equazione impone che
α = 1,
H=
14
p21
+ p1 p2 − p22
2
(a) Dunque, le trasformazioni di Legendre inverse sono
1
p1 = (2q̇1 + q̇2 );
3
1
p2 = (q̇1 − q̇2 )
3
ed essendo la funzione di Hamilton quadratica omogenea nelle p, si ha direttamente
che
1 1
2
2
(2q̇1 + q̇2 ) + (2q̇1 + q̇2 )(q̇1 − q̇2 ) − (q̇1 − q̇2 ) =
L =
9 2
1 2
1 2
q̇ + q̇1 q̇2 − q̇2
=
3 1
2
(b)
dG
∂G
∂H
= [G, H] +
=
+ λ(p1 , p2 ) = 0 ⇔ λ = −(p1 + p2 )
dt
∂t
∂p1
9. La funzione di Lagrange della particella di carica q è
1
L = ẋ2 + qf (x1 )ẋ3 ;
2
dunque, le trasformazioni di Legendre sono date dalle
p1 = ẋ1 ;
p2 = ẋ2 ;
p3 = ẋ3 + qf (x1 ).
(a) Siccome la funzione di Hamilton è
1
H = (p2 − 2qp3 f (x1 ) + q 2 f 2 (x1 )),
2
scriveremo l’operatore richiesto come:
(b) Poiché
b = q(qf − p3 )f ′ ∂ − p1 ∂ − p2 ∂ + (qf − p3 ) ∂ .
H
∂p1
∂x1
∂x2
∂x3
b ) = −x02 ;
H(F
b 2 (F ) = p02 ;
H
l’evoluzione temporale di F si determina mediante
b
F (x2 (t), p2 (t)) = e−tH F (x02 , p02 ) =
b 3 (F ) = 0,
H
(x0 )2
t2
x22 (t)
= 2 0 + tx02 + p02 ;
2p2 (t)
2p2
2!
b 2 ) = 0 implica che p2 = p02 è costante, si ha infine
tenendo conto che H(p
x22 = (x02 + p02 t)2 .
Questo risultato ribadisce un fatto evidente: che la componente del moto lungo
l’asse x2 è uniforme.
15
10. Ricordiamo che le trasformazioni di punto sono sempre canoniche e che inducono sui
momenti le equazioni di trasformazione
Pk = pj
∂xj
∂Qk
pi = Pl
∂Ql
∂xi
dove, per quest’ultima, si fa uso dello Jacobiano della trasformazione diretta:


  1

x1
Q1
cos ϕ − sin ϕ 0

α
 Q2  = 
 sin ϕ α cos ϕ 0   x2 
x3
Q3
0
0
1
La canonicità della trasformazione e la sua indipendenza dal tempo garantisce che
"
2
1
1
H(x, p) = K(Q, P ) =
cos ϕP1 − sin ϕP2 + (sin ϕP1 + α cos ϕP2 )2 + P32 +
2
α
2 !
1
(α cos ϕQ1 + sin ϕQ2 )2 + − sin ϕQ1 + cos ϕQ2
+
α
1
1
qB
− sin ϕQ1 + cos ϕQ2 − (α cos ϕQ1 + sin ϕQ2 )
cos ϕP1 − sin ϕP2
α
α
q2B 2
+
4
(sin ϕP1 + α cos ϕP2 )] .
In generale, la trasformazione muta la forma dell’hamiltoniana. Discutiamo comunque
due casi particolari:
(a) ϕ = π2 : le equazioni di trasformazione sono
x1 = Q 2 ;
x2 = −Q1 ; x3 = Q3 ;
p1 = −P2 ; p2 = P1 ; p3 = P3
1
q2B 2 2
2
2
(Q1 + Q2 ) − qB(P1 Q2 − Q1 P2 )
K=
P +
2
4
(b) α = 1: la trasformazione è una rotazione piana: ovviamente i termini quadratici si
conservano; d’altra parte
p1 x2 − x1 p2 = (P1 Q2 − Q1 P2 ) cos 2ϕ − (Q1 P1 + Q2 P2 ) sin 2ϕ
11. La trasformazione lineare sulle equazioni dell’oscillatore armonico di massa unitaria

p

q̇ =

1 2 k 2
m
p + q
=⇒
H=

2m
2

ṗ = −kq
16
comporta, in generale,
i
∂H
α
1 hα
∂H
−β
= p − βkq =
(−γQ + αP ) − βk(δQ − βP )
Q̇ = α
∂p
∂q
m
∆ m
i
∂H
∂H
γ
1 hγ
Ṗ = γ
−δ
= p − δkq =
(−γQ + αP ) − δk(δQ − βP )
∂p
∂q
m
∆ m
Dunque, infine, ci chiediamo se esiste una hamiltoniana K che soddisfa contemporaneamente le relazioni
1
α2
∂K
1 αγ
2
+ βδk Q +
β k+
P =
Q̇ = −
∆ m
∆
m
∂P
2
αγ
∂K
1
1 γ
βδk +
P =−
+ δ2k Q +
Ṗ = −
∆ m
∆
m
∂Q
La risposta evidentemente è sempre affermativa, in quanto, senza condizioni sui coefficienti della trasformazione, le relazioni sono soddisfatte da
1
K=
∆
α2
β k+
m
2
P2
1
+
2
∆
γ2
+ δ2k
m
Q2
1 αγ −
βδk +
QP
2
∆
m
In quanto alla canonicità, l’unica condizione sui coefficienti è, naturalmente,
∆ = αδ − βγ = 1.
12.
b = −2 ∂ − (px − py ) ∂ − (2py − px ) ∂ ,
H
∂py
∂x
∂y
Essendo
x
y
px
py
b
H
−(px − py )
−(2py − px )
0
−2
b2
H
−2
4
0
0
b3
H
0
0
0
0
e, dunque,
x(t) = x0 + (p0x − p0y )t − t2
y(t) = y 0 + (2p0y − p0x )t + 2t2
px (t) = p0x
py (t) = p0y + 2t
17
La trasformazione è di punto e, come è noto dalla teoria, la funzione generatrice è della
forma F2 = Qk (q, t)Pk , cioè

1


px = PX + PY


2
1
F2 (x, y, PX , PY ) = xPX + (x + y)PY =⇒

2

1

 py = PY
2
Siccome y = 2Y − X, si ha che
2
1
1
1
1 2 1
K =
PX + PY
+ PY − PY PX + PY − 2(2Y − X)
2
2
4
2
2
PX2
P2
=
+ Y − 4Y + 2X
2
8
Conseguentemente,
∂K 1 ∂K
−
= 0,
∂X
2 ∂Y
come c’era da aspettarsi, in quanto nella precedente descrizione hamiltoniana px era il
momento coniugato a una variabile ciclica.
[px , K] = −
13. La condizione sulla parentesi fondamentale di Poisson
[Q, P ] = −
∂Q ∂P
q 2 df
=−
= 1,
∂p ∂q
2 dq
impone che la trasformazione abbia la forma
1
Q = q 2 p;
2
P =
2
q
←→
q=
2
;
P
p=
QP 2
2
Se viene applicata alla particella (di massa unitaria) libera, otteniamo
H=
La funzione p =
Q2 P 4
p2
=K=
.
2
8
QP 2
genera la trasformazione infinitesima
2
δQ = ǫQP ;
δP = −ǫ
P2
2
che comporta (essendo la trasformazione indipendente dal tempo) la seguente variazione
in forma dell’hamiltoniana:
δK =
∂K
∂K
QP 4
Q2 P 3
P2
δQ +
δP =
ǫQP +
(−ǫ)
= 0.
∂Q
∂P
4
2
2
Questo risultato equivale a confermare che la quantità di moto di una particella libera è
una costante del moto.
18
14. Per le trasformazioni di punto vale la regola
pj =
∂Qk
Pk
∂qj
che diventa, nel caso delle coordinate polari
∂ρ
∂θ
sin θ
Pρ +
Pθ = cos θPρ −
Pθ
∂x
∂x
ρ
∂θ
cos θ
∂ρ
Pρ +
Pθ = sin θPρ +
Pθ
=
∂y
∂y
ρ
px =
py
Siccome
dV
=⇒ V = e−r + r,
dr
Pθ2
1
2
Pρ + 2 + e−r + r
H=
2m
ρ
e l’equazione di H-J è dunque, ià in forma separata,
"
2
2 #
∂W
∂Wθ
r
= α2
= r2 2m(α1 − e−r − r) −
∂θ
∂r
F =−
dove α1 = E.
15. La forza è derivabile da un potenziale, anche se il sistema non è conservativo,a causa della
dipendenza esplicita di k dal tempo. Quindi, semplicemente,
p2x p2y k 2
α 1
1
2
H=
+
+ (x + y ) +
+
.
2
2
2
2 x2 y 2
Si noti che la funzione di hamilton è costituita da due hamiltoniane separate, ciascuna delle quali descrive il moto di un oscillatore con frequenza dipendente dal tempo e
soggetto a una forza centrale.
La funzione G genera la trasformazione canonica infinitesima:
∂G
= δλ2y(ypx − xpy )
∂px
∂G
= −δλ2x(ypx − xpy )
δy = δλ
∂py
∂G
2α 4
4
δpx = −δλ
= −δλ
(x − y ) + 2py (xpy − ypx )
∂x
x3 y 2
∂G
2α 4
4
δpy = −δλ
= −δλ
(y − x ) − 2px (xpy − ypx )
∂y
x3 y 2
δx = δλ
La verifica dell’invarianza di H può essere fatta per sostituzione diretta o, facendo riferimento al teorema di Noether, mostrando che
[G, H] +
19
∂G
=0
∂t
16. La trasformazione di Legendre, diretta e inversa, è data da:
p = ẋef (x)
ẋ = pe−f (x) ,
←→
per cui
H=
2
p2 −f (x)
b = − df p e−f (x) ∂ − pe−f (x) ∂ .
e
=⇒ H
2
dx 2
∂p
∂x
b = df ∂ + 2 ∂ , con pochi passaggi si mostra che per ogni funzione
(a) Essendo G
dx ∂p p ∂x
F (x, p) definita sullo spazio delle fasi, si ha
df ∂F
2 ∂F
df p2 −f (x) ∂F
−f (x) ∂F
b
b
b
b
[H, G]F (x, p) = H
+
e
− pe
−G −
= 0.
dx ∂p
p ∂x
dx 2
∂p
∂x
Si poteva però osservare che
G = ln ef (x) − 2 ln p = − ln p2 e−f (x) = − ln 2H;
conseguentemente,
b
b=−1H
G
H
e la commutazione è subito evidente:
1
b ) + 1 H(
b H(F
b )) = 0.
b G]F
b (x, p) = H
b − H(F
[H,
H
H
(b) Al primo ordine di approssimazione, essendo
2
b = − df e−f p ∂ − pe−f ∂ ,
H
dx
2 ∂p
∂x
df −f p20
b
−tH
b
t
p(t) = e p0 = p0 − tH(p) = p0 + e
dx
2
t=0
È evidente che scegliendo la funzione identità f (x) = x, si ottiene
2
p
b
H(p)
= − e−x = −H;
2
dunque, il termine del second’ordine è identicamente nullo, cosı́ come tutti i termini di ordine superiore. Ciò comporta che l’evoluzione temporale del momento è
completamente stabilita dalla legge
p(t) = p0 + Ht
che mette in rilievo l’andamento lineare nel tempo.
Osservazione: quando f è la funzione identità, il moto è determinato separando le
variabili in
ẋ = (p0 + Ht)e−x :
Ht2
x(t) = ln po t +
+C .
2
20
17. La trasformazione è di punto, per cui
Pi =
∂L ∂xk
∂L ′
=
;
∂ ẏi
∂ ẋk ∂yi
Equivalentemente,
P1
P2
=
cos ωt sin ωt
− sin ωt cos ωt
p1
p2
La funzione generatrice è dunque
F2 = yi Pi = (x1 cos ωt + x2 sin ωt)P1 + (−x1 sin ωt + x2 cos ωt)P2
e, inoltre,
∂F2
= ω(−x1 sin ωt + x2 cos ωt)P1 − ω(x1 cos ωt + x2 sin ωt)P2 = ω(y2 P1 − y1 P2 ).
∂t
Nelle nuove coordinate, la funzione di Hamilton è
q
∂F2
P2
K=H+
=
+ V ( y12 + y22 ) + ω(y2 P1 − y1 P2 ),
∂t
2
in quanto
p21 + p22 + p23 = P12 + P22 + P32 ;
Evidentemente
x21 + x22 = y12 + y22 .
∂K
= 0; se ne conclude che K si conserva durante il moto.
∂t
18. Le trasformazioni a coordinate polari sono di punto: per ogni funzione di Lagrange,
∂L ′ ∂ρ ∂L ′ ∂θ
sin θ
+
= pρ cos θ − pθ
∂ ρ̇ ∂x
ρ
∂ θ̇ ∂x
′
′
cos θ
∂L ∂ρ ∂L ∂θ
+
= pρ sin θ + pθ
=
∂ ρ̇ ∂y
ρ
∂ θ̇ ∂y
px =
py
Conseguentemente, essendo la trasformazione indipendente dal tempo, la nuova hamiltoniana è
p2ρ
p2
k2
kpθ
+ θ2 + 2 + 2
K=
2
2ρ
2ρ
ρ
Indicando con α1 il valore costante dell’hamiltoniana, l’equazione di H-J è
2
2
1 ∂W
1
∂W
k2
k ∂W
+ 2
+ 2+ 2
= α1
2 ∂ρ
2ρ
∂θ
2ρ
ρ
∂θ
che è in linea di principio separabile, in quanto
2
2
∂Wρ
∂Wθ
∂Wθ
2
2
2
ρ
+ k − 2α1 ρ = α2 = −
− 2k
,
∂ρ
∂θ
∂θ
21
da cui
Z s
α2 − k 2
+ 2α1 dρ
ρ2
Z
p
Wθ = (−k ± k 2 − α2 )dθ
Wρ =
19. La trasformazione di Legendre comporta in questo caso:
2
df
1
df
p = ẋ +
.
e
H=
p−
dx
2
dx
Le equazioni di Hamilton sono allora

df


ẋ = p −


dx


df d2 f

 ṗ = p −
dx dx2
(a) Prima questione.
Le equazioni differenziali nelle nuove variabili sono
√
∂Q
df
∂Q
ẋ +
ṗ = 1 · ẋ + 0 · ṗ = p −
= P
∂x
∂p
dx
d
(2H) = 0.
Ṗ =
dt
Q̇ =
Queste equazioni sono sicuramente canoniche, in quanto
√
∂
2 3
2
P =
P
Q̇ =
∂P 3
∂
2 3
2
Ṗ = 0 = −
.
P
∂Q 3
La trasformazione è dunque canonoide rispetto a H.
(b) Seconda questione.
Poiché non c’è modo di rendere uguale a 1 la parentesi fondamentale di Poisson
df
[Q, P ] = 2 p −
,
dx
possiamo affermare che sicuramente la trasformazione non è canonica.
20.
(a) La condizione di integrabilità
∂
∂
(F p + (a − 1)x) = −
∂x
∂p
22
dG
−F
dx
impone che
a = 1,
inoltre la funzione di Hamilton è evidentemente
2
p
H = F (t)
+ G(x) .
2
(b) Benché la funzione di Hamilton dipenda esplicitamente dal tempo, l’equazione di
H-J
#
" 2
∂S
1 ∂S
+G +
=0
F
2 ∂x
∂t
è a variabili separabili: infatti, indicando con S(x, t, α) = Wx (x, α) + Wt (t, α), si
ha
2
1 ∂Wx
+G = α
2
∂x
1 ∂Wt
−
= α
F ∂t
La soluzione sarà del tipo
Z
Z p
2(α − G(x))dx − α F (t)dt
S=
e le equazioni della trasformazione canonica:
∂S p
p=
= 2(α − G(x));
∂x
∂S
β=
=
∂α
Z
1
p
dx −
2(α − G(x))
Z
21. Tenendo conto delle equazioni del moto, si ha
p
∂ 2
3/2
(P + f (Q))
Q̇ = p = P + f (Q) =
∂P 3
df
df p
∂ 2
3/2
Ṗ = − p = −
P + f (Q) = −
(P + f (Q))
dq
dQ
∂Q 3
da cui si deduce
2
K = (P + f (Q))3/2
3
si noti che
[Q, P ] = 2p =⇒
trasf. non canonica.
L’equazione (ridotta) di Hamilton-Jacobi è
2
3
∂W
+ f (Q)
∂Q
23
3/2
= α.
F (t)dt.
Si deduce dunque che
∂W
= C − f (Q) =⇒ W =
∂Q
essendo C =
3
α
2
2/3
Z
(C − f (Q))dQ
il nuovo momento costante. Dalla teoria,
∂S
2
=
S = W − C 3/2 t =⇒ β =
3
∂C
Z
dQ −
√
Ct
Imponendo le condizioni iniziali
P (0) = p20 − f (q0 ),
Q(0) = q0 ;
si ottiene per le coordinate costanti
C = P (0) = p20 .
β = q0
Il moto è dunque individuato da
Q(t) = q0 + p0 t.
22. Siccome la Lagrangiana del sistema è
L =
m 2
(ρ̇ + ρ2 θ̇2 ) − θ̇ρ,
2
la variabile θ è ciclica, e dalla teoria si ottiene che
Pθ =
∂L
1
α
+
= α = mρ2 θ̇ − ρ =⇒ θ̇ =
2
mρ
mρ
∂ θ̇
La funzione di Routh per questo sistema è
m
∂L
m
R = L − θ̇
= ρ̇2 − ρ2
2
2
∂ θ̇
α
1
+
2
mρ
mρ
2
La corrispondente funzione di hamilton è
1
p2
+
H=
2m 2m
α
+1
ρ
2
da cui segue l’equazione di H-J
1
2m
∂W
∂ρ
2
1
+
2m
α
+1
ρ
2
=β
β essendo il valore costante della funzione di Hamilton. Il sistema è ridotto alle quadrature.
24
23. Come è noto, la funzione di Lagrange per questo sistema è, in coordinate cartesiane,
L =
B
m 2
(ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) + e (xẏ − ẋy).
2
2
(2)
Dunque, in coordinate cilindriche si ha
L =
m 2
B
(ρ̇ + ρ2 θ̇2 + ż 2 ) + e ρ2 θ̇
2
2
(3)
La trasformazione di Legendre si effettua tramite
pθ = mρ2 θ̇ +
pρ = mρ̇,
eB 2
ρ,
2
pz = mż
Conseguentemente la funzione di Hamilton è
p2ρ
p2
eB
e2 B 2 2
p2
H=
+ θ2−
pθ +
ρ + z
2m 2mρ
2m
8m
2m
Le funzioni generatrici delle rotazioni piane e delle traslazioni nella direzione del campo
sono rispettivamente
∂L
=⇒ L = pθ ,
δθ = δθ
∂pθ
∂P
=⇒ P = pz
δz = ǫ = ǫ
∂pz
Dunque, gli operatori richiesti sono
2 2
e
B
p
∂
1
∂
p
∂
pz ∂
eB
θ
ρ
b =
H
ρ−
−
−
−
−
3
2
4m
mρ ∂pρ m ∂ρ
mρ
2m ∂θ m ∂z
b = −∂
L
∂θ
∂
Pb = −
∂z
I commutatori si annullano tutti, perché l’effetto della commutazione degli operatori si
riduce a invertire l’ordine di derivazione nelle derivate seconde; per i primi due casi ciò
è dovuto al fatto che θ e z sono variabili cicliche. Infatti, per esempio, per ogni funzione
f (q, p) definita sullo spazio delle fasi,
b H(f
b )) = −
L(
1
e2 B 2
ρ−
4m
mρ3
pρ ∂ 2 f
∂ 2f
+
+
∂θ∂pρ m ∂θ∂ρ
eB
pθ
−
2
mρ
2m
∂ 2f
pz ∂ 2 f
+
∂θ2
m ∂θ∂z
ed è facile vedere che lo stesso risultato si ottiene a fattori invertiti. Piú semplice ancora
è verificare che
2
b Pb(f )) = ∂ f = Pb(L(f
b ))
L(
∂θ∂z
25
24. La forza è conservativa, non sono presenti vincoli reonomi, e dunque si ha che
1 2
cos θ
1 2
H =T −U =
pρ + 2 pθ − 2 .
2
ρ
ρ
(a) La trasformazione (1) è canonica, in quanto generata dalla funzione
1
G = p2θ − cosθ;
2
essa genera una simmetria di H:
δH =
1
1
p
δp
+
sin θδθ = 0.
θ
θ
ρ2
ρ2
Alla stessa conclusione si poteva pervenire, tenendo conto del teorema di Noether e
osservando che
dG
= [G, H] = 0.
dt
(b) dalla definizione di operatore hamiltoniano, si ha nei tre casi richiesti
b = sin θ ∂ − pθ ∂
G
∂pθ
∂θ
1
∂
sin θ ∂
pθ ∂
2 ∂
b =
H
+
−
p
−
(2
cos
θ
−
p
)
ρ
θ
ρ3
∂pρ
ρ2 ∂pθ
∂ρ ρ2 ∂θ
∂
pbρ = −
∂ρ
Mediante questi, si possono eseguire le verifiche richieste:
∂
∂ ∂f
∂f
∂
∂f
b
[G, pbρ ](f ) = − sin θ
− pθ
+
− pθ
sin θ
=0
∂pθ
∂θ ∂ρ ∂ρ
∂pθ
∂θ
b pbρ ](f ) = − 1 (2 cos θ − p2 ) ∂ + sin θ ∂ − pρ ∂ − pθ ∂
[H,
θ
ρ3
∂pρ
ρ2 ∂pθ
∂ρ ρ2 ∂θ
∂
sin θ ∂f
∂f
1
pθ ∂f
2 ∂f
+
(2 cos θ − pθ )
+ 2
− pρ
−
∂ρ ρ3
∂pρ
ρ ∂pθ
∂ρ ρ2 ∂θ
=−
∂f
+
∂ρ
∂f
2 sin θ ∂f
2pθ ∂f
3
(2 cos θ − p2θ )
−
+ 3
4
3
ρ
∂pρ
ρ ∂pθ
ρ ∂θ
Quest’ultimo risultato è evidentemente diverso da zero per una generica funzione f .
25. La funzione generatrice deve essere evidentemente di tipo F2 o F3 , in quanto deve necessariamente essere variabile indipendente o il vecchio momento o il nuovo. Abbiamo
dunque che
∂F3
1
X
P =−
= =⇒ F3 = − + λ(p)
∂X
p
p
26
con λ funzione arbitraria. Siccome deve essere soddisfatta anche la
x=−
∂F3
X
dλ
=− 2 −
,
∂p
p
dp
la nuova Hamiltoniana è della forma
K = H(x(X, P ), p(X, P )) =
dλ
1
+ XP 2 +
.
2
2P
dp
Dunque, per i requisiti richiesti deve essere
dλ
1
p3
= − p2 =⇒ λ = − ,
dp
2
6
per cui la funzione cercata è
F3 = −
X
p3
− .
p
6
✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲
Se si fosse scelto lo schema 2, i conti erano analoghi:
x
dµ
x
+ µ(P );
X=− 2 +
P
P
dP
dµ
1 1
1
2
+P X −
=⇒ µ = −
K=
2
2P
dP
6 P3
F2 =
e, infine,
F2 (x, P ) =
x
1 1
−
P
6 P3
26. La trasformazione è canonica in quanto generata dalla funzione
G=
p2θ
+ f (θ) + tpz − z
2
Conseguentemente, si ha per la variazione in forma di
1 2 p2θ
f (θ)
2
H=
pρ + 2 + pz + 2 − g(z),
2
ρ
ρ
∂G
dg
∆H = ǫ [G, H] +
= ǫt
∂t
dz
dove abbiamo fatto uso del teorema di Noether. Allora abbiamo che
∆H = 0 ⇐⇒ g(z) = costante
27
Naturalmente si poteva ottenere lo stesso risultato con un calcolo diretto della variazione
in forma:
∂G
− H(Z) =
∆H = K(Z) − H(Z) = H(z) + ǫ
∂t
!
2
1 2 p2θ
1
1
f (θ + ǫpθ )
f (θ)
df
2
2
2
+ (pz + ǫ) −
+g(z+ǫt)
pρ + 2 + pz + 2 −g(z)+ǫpz −
pρ + 2 pθ − ǫ
2
ρ
ρ
2
ρ
dθ
ρ2
Dunque, al primo ordine di approssimazione, dove
f (θ + ǫpθ ) = f (θ) + ǫpθ
df
dθ
g(z + ǫt) = g(z) + ǫt
e
∆H = ǫt
dg
,
dz
dg
dz
27. La trasformazione è canonica in quanto generata dalla funzione
F2 = tqP
Dalla teoria delle trasformazioni canoniche, abbiamo che
K(Q, P, t) = H(q, p, t) +
P2 1
Q
∂F2
= t2
− QP + P
∂t
2
t
t
La corrispondente equazione di Hamilton Jacobi è
2
∂S
∂S
2
t
=0
+
∂Q
∂t
In questo caso, il tempo non è una variabile ciclica, ma lo è Q. Dunque, la separazione
delle variabili porta a
2
1 ∂Wt
∂WQ
= α2 = − 2
∂Q
t ∂t
=⇒ WQ = αQ; Wt = −α
2t
3′
3
28. La trasformazione è di punto e, dunque generata dalla funzione
q2
F2 = Q(q, t)P =
P
2at
Come sappiamo, la trasformazione dei momenti è indotta da quella delle coordinate.
Infatti,
√
2atQ
qP
∂F2
=
=
P.
p=
∂q
at
at
Dalla teoria delle trasformazioni canoniche, abbiamo che
∂F2
P2
K(Q, P, t) = H(q, p, t) +
=
− atQ,
∂t
2
28
essendo
q2
QP
∂F2
= − 2P =
.
∂t
2at
t
La corrispondente equazione di Hamilton Jacobi è
2
1 ∂S
∂S
=0
− atQ +
2 ∂Q
∂t
Sostituendo l’espressione proposta, si ottiene
1
dλ
(α + bt2 )2 − atQ − 2btQ +
=0
2
dt
Dunque, prima di tutto deve essere
1
b= a
2
Infine, si ottiene, come condizione su λ
1
1
1
−λ = α2 t + aαt3 + a2 t5 .
2
6
40
Dalle equazioni di trasformazione, si ha

∂S
1 3


β
=
=
Q
−
αt
−
at


∂α
6


∂S
1

 P =
= at2 + α
∂Q
2
Indicando con Q0 e P0 le condizioni iniziali, si ha conseguentemente che β = Q0 , α =
P0 ,

1


Q = Q0 + P0 t + at3


6
=⇒

1
∂S


 P = P0 +
= at2
∂Q
2
che rappresentano la soluzione del problema meccanico.
29. L’equivalenza delle due lagrangiane è dovuta al fatto che
qB
∇×
(e2 − e1 ) = ∇ × [q(f (x1 )e1 + Bx1 e2 )]
2
cioè che il rotore dei due potenziali vettori dà lo stesso campo magnetico B.
Le trasformazioni di Legendre sono, rispettivamente,


qB
∂L1
∂L2




 p1 = ∂ ẋ = mẋ1 − 2 x2 ;
 P1 = ∂ ẋ = mẋ1 + qf (x1 );


1
1



 p2 = ∂L1 = mẋ2 + qB x1 ;
∂ ẋ2
2
29



 P2 = ∂L2 = mẋ2 + qBx1 ;
∂ ẋ2
Usando queste relazioni si può prima di tutto verificare che le equazioni di Lagrange
portano alle medesime equazioni differenziali
ẍ1 =
qB
ẋ2 ;
m
ẍ2 = −
qB
ẋ1
m
da cui è evidente che G è una costante del moto indipendentemente dalla scelta della
lagrangiana:
∂G
∂G
dG
=
ẋi +
ẍi = (mẋ2 + qBx1 )ẋ1 − (mẋ1 − qBx2 )ẋ2 − mx2 ẍ1 + mx1 ẍ2 = 0.
dt
∂xi
∂ ẋi
Passando alla descrizione hamiltoniana mediante le trasformazioni di Legendre inverse


p
qB
1


 ẋ1 =
 ẋ1 = P1 − q f (x1 );
+
x2 ;




m 2m
m
m


qB
p

 ẋ2 = 2 −
x1 ;
m 2m


qB
P

 ẋ2 = 2 −
x1 ;
m
m
otteniamo le due corrispondenti hamiltoniane:
1
q2B 2 2
2
2
2
H1 =
(x1 + x2 ) + qB(p1 x2 − x1 p2 )
p + p2 +
2m 1
4
H2 =
1
[P 2 + P22 + q 2 (f 2 + B 2 x21 ) − 2q(f P1 + Bx1 P2 )]
2m 1
Inoltre, le due trasformazioni di Legendre, si riflettono in modo diverso sulla funzione G:
G1 (x, p) = x1 p2 − x2 p1
G2 (x, P ) = x1 P2 − x2 P1 +
qB 2
(x2 − x21 ) + qf (x1 )x2
2
Per rispondere alla domanda, richiamiamo il teorema di Noether: Gi generano simmetrie
se sono costanti del moto. È noto dalle lezioni del corso che
[G1 , H1 ] = 0.
D’altra parte,
m[G2 , H2 ] = (P2 − qBx1 + qf ′ x2 )(P1 − qf ) + (−P1 + qBx2 + qf )(P2 − qBx1 )
−(−x2 )(q 2 B 2 x − 1 + q 2 f f ′ − qf ′ P1 − qBP2 ) = 0
30. La trasformazione dalle coordinate cilindriche a quelle ellissoidali
ρ = a sinh v sin u
φ=φ
30
z = a cosh v cos u
trasforma l’energia cinetica nel seguente modo:
T =
m 2
(ρ̇ + ρ2 φ̇2 + ż 2 ) =
2
ma2
[(v̇ cosh v sin u+u̇ sinh v cos u)2 +sinh2 v sin2 uφ̇2 +(v̇ sinh v cos u−u̇ cosh v sin u)2 ] =
2
ma2
[(sinh2 v + sin2 u)(u̇2 + v̇ 2 ) + sinh2 v sin2 uφ̇2 ].
2
L’energia cinetica è quadratica e omogenea nelle velocità generalizzate, dunque si ha
immediatamente
1
1
1
2
2
p2φ + V (u, v, φ).
+
H=
pv + pu +
2ma2 (sinh2 v + sin2 u)
sinh2 v sin2 u
Se scegliamo come energia potenziale
V (u, v) =
f (v) + g(u)
,
sinh2 v + sin2 u
f, g funzioni arbitrarie
l’equazione di Hamilton-Jacobi per l’hamiltoniana sopra ricavata, diviene
"
2 2 2 #
∂Wφ
∂Wu
1
∂Wv
1
f (v) + g(u)
1
+
+
=E
+
2
2
2 +
2
2
∂v
∂u
∂φ
2ma (sinh v + sin u)
sinh v sin u
sinh2 v + sin2 u
φ è evidentemente una variabile ciclica, per cui Wφ = β1 φ, e l’equazione di H-J si separa
nelle v, u come segue:
#
"
2
1
∂Wv
1
2
2
+
2 β1 + f (v) − E sinh v = β2
2ma2
∂v
sinh v
#
"
2
1
1
∂Wu
−
β 2 − g(u) + E sin2 u = β2
+
2ma2
∂u
sin2 u 1
Infine, la soluzione dell’equazione di H-J si può scrivere come:
r
Z
S = −Et + β1 φ +
Z
dv
2ma2 (β2 + E sinh2 v − f (v)) −
r
du 2ma2 (−β2 + E sin2 u − g(u)) −
31
β12
sin2 u
β12
+
sinh2 v
Venendo alla seconda domanda, dette m1 e m2 le masse fisse sull’asse z,
z
Siano, rispettivamente, a e −a le quote di m1 e m2 , si
ha che
6
m1
r12 = (a − z)2 + ρ2 ,
r1
ρ
- m
O
r2
r22 = (z + a)2 + ρ2
Se G è la costante gravitazionale, si ha allora che
l’energia potenziale del sistema è
!
m1
m2
V = −Gm p
+p
.
(a − z)2 + ρ2
(a + z)2 + ρ2
m2
Nelle coordinate ellissoidali, tale funzione si esprime come:
Gm
m1
m2
Gm m1 (cosh v + cos u) + m2 (cosh v − cos
V (u, v) = −
+
=−
a
cosh v − cos u cosh v + cos u
a
cosh2 v − cos2 u
vale a dire,
Gm (m1 + m2 ) cosh v + (m1 − m2 ) cos u
.
V =−
a
sinh2 v + sin2 u
È allora facile ridurre alle quadrature questo problema, sfruttando la separazione di variabili precedente, scegliendo
f (v) = −
Gm
(m1 + m2 ) cosh v
a
32
e g(u) = −
Gm
(m1 − m2 ) cos u.
a