Capitolo 12
EQUAZIONI DEL MOTO
12.1
Rappresentazione di Heisenberg
Nel Cap. 5 abbiamo discusso le traslazioni temporali e quindi l’equazione di Schrödinger dipendente dal
tempo, che descrive stati non stazionari di un sistema quantico. La misura di osservabili fisiche di un
sistema in stati non stazionari porta a risultati che dipendono dal tempo. Consideriamo il valor medio
della osservabile O nello stato |ψt >. Assumendo che il sistema si trova nello stato |ψ0 > all’istante t0 si
ha
< ψt |O|ψt >=< ψ0 |U+ (t, t0 )OU(t, t0 )|ψ0 >
(12.1)
L’introduzione della osservabile
OH (t) = U+ (t, t0 )OU(t, t0 )
(12.2)
suggerisce un modo alternativo di descrivere l’evoluzione dinamica di un sistema, che va sotto il nome di
rappresentazione di Heisenberg, nella quale l’evoluzione temporale è attribuita alle osservabili piuttosto
che agli stati come nella rappresentazione di Schrödinger. Tuttavia le due rappresentazioni, di Heisenberg
e di Schrödinger, sono equivalenti perchè portano agli stessi risultati fisici, essendo collegate da una
trasformazione unitaria.
La rappresentazione di Heisenberg è utile sia per quanto riguarda lo sviluppo teorico della MQ sia
per il collegamento con la meccanica classica, dove le leggi della dinamica sono anche espresse in termini di osservabili fisiche. Le due rappresentazioni guardano i fenomeni quantici da prospettive diverse:
la rappresentazione di Schrödinger guarda alla funzione d’onda del sistema, che evolve nel tempo con
continuit nella tradizione della meccanica ondulatoria; la rappresentazione di Heisenberg guarda alle
transizioni quantiche del sistema indotte da perturbazioni temporali, come avremo occasione di vedere
con le transizioni di elettroni in orbitali atomici indotte da un campo elettromagnetico.
Applicando l’eq.(5.6) possiamo stabilire facilmente l’equazione del moto della osservabile OH , chiamate anche equazioni di Heisenberg
i~
∂
d
OH (t) = [OH (t), HH (t)] + i~ OH (t),
dt
∂t
dove
(12.3)
∂
∂O(t)
OH (t) = U+ (t, t0 )
U(t, t0 ),
(12.4)
∂t
∂t
cioè la derivata parziale agisce solo sulla dipendenza esplicita dal tempo, nel caso in cui O dipenda esplicitamente dal tempo già nella rappresentazione di Schrödinger, come nel caso del campo elettromagnetico.
66
CAPITOLO 12. EQUAZIONI DEL MOTO
12.2
67
Relazione tra simmetrie e teoremi di conservazione
Le equazioni del moto stabiliscono la condizione perchè una variabile dinamica sia una costante del moto.
Le condizioni perchè una osservabile sia una costante del moto sono due
• O dev’essere esplicitamente indipendente dal tempo
• O deve commutare con la Hamiltoniana
Ricordiamo che se O e H commutano nella rappresentazione di Heisenberg, commutano anche nella rappresentazione di Schrödinger, poichè le due rappresentazioni sono legate da una trasformazione
unitaria.
Una trattazione a parte merita la Hamiltoniana. Nel caso in cui OH (t) è la Hamiltoniana stessa
l’equazione di Heisenberg da
d
∂
i~ HH (t) = i~ HH (t)
(12.5)
dt
∂t
Se la Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo allora il secondo membro è nullo e la Hamiltoniana è una costante del moto. Questo accade con un sistema isolato o comunque interagente con
l’ambiente esterno con una perturbazione indipendente dal tempo. In entrambi i casi l’omogeneità del
tempo è preservata.
Se l’osservabile O è il generatore di una trasformazione di simmetria ( traslazioni spaziotemporali o
rotazioni, per esempio) allora il fatto che la Hamiltoniana commuta con O esprime anche la condizione
affinchè la Hamiltoniana sia invariante per la simmetria generata da O. Infatti indichiamo con H′ la
Hamiltoniana trasformata per una data trasformazione di simmetria. Senza perdita di generalit possiamo
supporre che la trasformazione sia infinitesima, allora si ha
H′ = U+ (t, t0 )HU(t, t0 ) = (1 +
i
i
i
δs O)H(1 − δs O) = H + [O, H]
~
~
~
(12.6)
Quindi, affinchè H′ = H la Hamiltoniana deve commutare con il generatore della trasformazione di
simmetria
[O, H] = 0 ,
(12.7)
quindi la condizione che la Hamiltoniana commuti con il generatore di una trasformazione di simmetria
è nello stesso tempo la condizione perchè la Hamiltoniana sia invariante per quella trasformazione di
simmetria e la condizione perchè il generatore sia esso stesso una costante del moto. Ritroviamo allora la
relazione tra simmetrie e teoremi di conservazione stabilita già in meccanica classica nello ambito delle
trasformazioni canoniche infinitesime. Questa proprietà è una ulteriore conferma della identificazione
in MQ dei generatori di traslazioni, rotazioni e traslazioni temporali con l’impulso totale, il momento
angolare totale e la Hamiltoniana, rispettivamente, in perfetta analogia con la meccanica classica.
12.3
Limite classico: teorema di Ehrenfest
Consideriamo per semplicità una particella sottoposta ad un potenziale V(q) in moto unidimensionale.
Siano q(t) e p(t) coordinata ed impulso della particella nella rappresentazione di Heisenberg (omettiamo
il pedice H). Le equazioni del moto sono
p(t)
dq(t)
= [q(t), H] = i~
dt
m
dp(t)
i~
= [p(t), H] = [p(t), V(q)]
dt
i~
(12.8)
(12.9)
CAPITOLO 12. EQUAZIONI DEL MOTO
68
Se la particella all’istante t0 aveva una funzione d’onda ψ(q) allora posizione ed impulso medio
all’istante t sono rispettivamente
∫
< q(t) >= dqψ ∗ (q)q(t)ψ(q)
(12.10)
∫
~ d
< p(t) >= dqψ ∗ (q)
ψ(q)
(12.11)
i dq
Dalla eq.(12.6) prendendo il valor medio si ha l’equazione del moto della posizione media si ha
d < q(t) >
=< p(t) > /m·
(12.12)
dt
Questa equazione è formalmente identica alla prima equazione di Hamilton con le variabili classiche q(t)
e p(t) scambiate con i valori medi delle rispettive variabili quantiche. In altri termini il valor medio della
posizione di una particella segue una traiettoria classica, il che non significa che la particella si muova su
una traiettoria classica. Vedremo infatti che l’indeterminazione nella posizione nel corso del tempo ha un
comportamento classicamente incomprensibile.
Esaminiamo ora il valor medio della seconda equazione
∫
∫
d < p(t) >
~ d
~ d
i~
= < [p(t), V(q(t))] >= dq ψ ∗ (q)
[V (q)ψ(q)] −
ψ ∗ (q)V (q)
ψ(q) =
dt
i dq
i dq
∫
~
dV (q)
~
dV(q)
=
dq ψ ∗ (q)
ψ(q) = <
>·
(12.13)
i
dq
i
dq
Questa equazione assomiglia all’equazione classica del moto ṗ = −gradV . Quindi in generale < p(t) >
non ha un comportamento classico come < q(t) > a meno che non si possa scambiare il valor medio del
gradiente < ∇V > con il gradiente del valor medio ∇ < V >. Ciò è possibile in alcuni casi speciali, come
per la particella libera in cui il potenziale è nullo, il caso di una particella carica immersa in un campo
elettrico costante per cui V(q) = Eq o una particella in un potenziale di oscillatore armonico V(q) = kq2 ,
in altri termini nei casi di potenziali costanti, lineari o quadratici in q.
Consideriamo il caso più interessante di potenziale di oscillatore armonico allora
<
dV(< q >)
dV(q)
>= 2k < q >=
dq
d<q>
(12.14)
Pertanto per potenziali della forma qn con n ≤ 2 l’equazione del moto per il valor medio dell’impulso
d < p(t) >
dV(< q >)
=−
dt
d<q>
(12.15)
è formalmente identica alla seconda equazione di Hamilton, quindi anche il valor medio dell’impulso ha
un comportamento classico. Le equazioni (12.8) e (12.9) costituiscono il teorema di Ehrenfest sul limite
classico. Al di là dei pochi casi summenzionati, il comportamento dei valori medi di variabili dinamiche
si scosta radicalmente da quello classico e comunque si pone il problema sotto quali condizioni ci si
può aspettare che il sistema evolva in modo approssimativamente classico, in cui si possa distinguere un
termine classico e delle correzioni quantistiche.
A tal fine riprendiamo l’equazione Eq.(12.11) e sviluppiamo il potenziale in serie di Taylor attorno a
q̄ ≡< q >. Si ha
<
dV (q)
> =
dq
∫
d
1
1
[V (q̄) + V ′ (q̄)(q − q̄) + V ′′ (q̄)(q − q̄)2 + V ′′′ (q̄)(q − q̄)3 + · · ·] =
dq
2
6
∫
1
(12.16)
= V ′ (q̄) + V ′′′ (q̄) dq|ψ ∗ (q)|2 (q − q̄)2 ,
2
=
dq|ψ ∗ (q)|2
CAPITOLO 12. EQUAZIONI DEL MOTO
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dove le derivate vanno calcolate in q̄. Il primo termine è il termine classico che ci da l’equivalenza tra
l’equazione di Heisenberg per i valori medi delle osservabili quantistiche con l’equazione di Hamilton per
le variabili classiche. Il termine in V” sparisce poichè < q− < q >>= 0; il terzo termine è la prima
correzione quantistica. Quest’ultimo dipende dalla derivata terza del potenziale. Il termine a fattore,
che sta nell’integrale, é lo scarto quadratico medio della posizione △q, che , ricordiamo, è una misura
della localizzazione del sistema nello spazio. Ne consegue che, per quanto la forma del potenziale sia
importante, non è l’unica a determinare la correzione quantistica. Anzi, gli effetti quantistici vanno
prevalentemente associati a △q, che sappiamo essere vincolato dalle relazioni di indeterminazione di
Heisenberg. Vedremo nel prossimo paragrafo come gi nel caso di una particella libera △q tende a crescere
nel tempo e la presenza del potenziale ha in genere un effetto dispersivo.
12.4
Allargamento del pacchetto d’onde
Andiamo ad esaminare come varia nel tempo △q, nel caso della particella libera, per cui il moto è
unidimensionale). Questa situazione si incontra negli esperimenti di collisione dopo che le particelle
emergenti dalla collisione vanno a raggiungere i rivelatori. L’apparato di rivelazione (distanza dalla
targhetta, granularità, ...) deve tener conto dell’allargamento del pacchetto d’onde.
Per una particella libera le equazioni del moto per posizione ed impulso sono
p(t)
dq(t)
=
dt
m
dp(t)
=0
dt
(12.17)
La seconda equazione ci dice che l’impulso è una costante del moto. La prima equazione si integra
facilmente
q(t) = q(0) +
p(0)
t
m
(12.18)
Osserviamo che, mentre le coordinate a tempi uguali commutano, quelle a tempi diversi non commutano,
e si ha
1
~t
[q(t), q(0)] = [p(0)t, q(0)] =
(12.19)
m
im
Applicando la stessa procedura che porta alle relazioni di indeterminazione tra posizione ed impulso,
possiamo dimostrare analoghe relazioni di indeterminazione tra coordinate a tempi diversi
(△q)t (△q)0 &
~t
2m
(12.20)
Questa relazione mostra che l’indeterminazione nella localizzazione di una particella cresce come t2 .
Questo fenomeno prende il nome di allargamento del pacchetto d’onde. Nel limite ~ → 0 l’allargamento
del pacchetto d’onde non si ha.
