Esercizi di Meccanica Analitica - IV
January 16, 2017
Esercizio 1. L’azione ridotta, o azione di Maupertuis è definita come:
Z
S0 =
pi dqi .
C
Secondo il principio di Maupertuis la traiettoria del sistema è tale che
δS0 = 0,
dove la variazione della traiettoria C nello spazio delle configurazione lascia
invariati i punti iniziali e finali q1 , q2 e l’energia, mentre i tempi iniziali e finali
possono variare.
Utilizzando tale principio:
a mostrare che, in assenza di forze esterne, la traiettoria di un punto, fissate
le configurazioni iniziali e finali q1 e q2 , è una retta;
b determinare l’equazione differenziale per la traiettoria di un punto vincolato a muoversi in un piano xy soggetto ad un potenziale V (y) e, a partire
da questo risultato, riottenere le equazioni di Newton.
Esercizio 2. Scrivere l’Hamiltoniana di un oscillatore armonico monodimensionale, di massa m e costante elastica k. Sia data la trasformazione di coordinate definita dalle relazioni:
(
Q(q, p) = C(p + imωq)
(1)
P (q, p) = C(p − imωq)
dove C è una costante reale, i è l’unità immaginaria e k = mω 2 .
a Determinare per quali valori della costante C la trasformazione è canonica.
b Scrivere la funzione generatrice F2 (q, P ) della trasformazione.
c Scrivere le equazioni di Hamilton nelle coordinate (P, Q) e trovare le
soluzioni. Successivamente utilizzare questo risultato per ottenere la soluzione
per le coordinate (p, q).
1
Esercizio 3. Una particella di carica q e massa m è vincolata a muoversi su
un piano sotto l’azione di un potenziale centrale e di un campo magnetico B
costante e ortogonale a tale piano.
a Scrivere la Lagrangiana e le equazioni del moto in cordinate polari piane.
b Ottenere la Hamiltoniana nelle medesime coordinate.
Esercizio 4. Mostrare che per il moto in un campo di forze centrali con potenziale
α
α∈R
V (r) =
r
il vettore di Laplace-Runge-Lenz
A=v×L+
αr
r
è un integrale del moto utilizzando il formalismo delle parentesi di Poisson.
2
(2)
