Esame di Fisica Moderna e Meccanica Quantistica
26 febbraio 2010
.I/ I'Hamiltoniana del nostro sistema e lA,t) il generico stato al tempo ú nello schema di Schródinger in
cui sono gli stati ad evolvere nel tempo..
Sia
Si scriva I'equazione di Schródinger che determina I'evoluzione temporale
di lA,ú).
lt
pt.]
Sia I/(t) una famiglia di operatori unitari dipendenti dal tempo. Sia Vt(ú) I'Hermitiano coniugato di y(ú).
Si utilizzi Ia relazione tra Vt e V per determinare quella che esprime Ia derivata rispetto al tempo di I/t in
termini di quella di V.
[2 pt.]
Consideriamo gli stati
:: vI O)lA,t)
lÀ,,ty
Qual'è I'Hamiltoniana
É
,
che determina la loro evoluzione temporale nell'equazione di Schródinger? [3 pt.]
Si dimostri che anche Ir' è un operatore
autoaggiunto.
[3 pt.]
Siano U(t) eÚ1t1 gli operatori unitari che generano I'evoluzione temporale rispettivamente degli stati lA,ú)
e lA,t), owero
lA,t) u(t)1A,0).
lA,t) U(t) lA,o) ;
Si dimostri che essi soddisfano le equazioni differenziali
[2 pt.]
:
:
ù{:dt
Qual'è la relazione tra ÚQ) e U(t)
HU
ifiq-:
Hú.
dt
'
[3 pt.]
?
Come devono evolvere nel tempo le osservabili se gli stati sono rappresentati al tempo
ú
dagli stati
1.4,
t)?
13
pt.]
Sia .É1 della forma -FI : Ho * H1, cotL f/o l'Hamiltoniana della particella libera di massa m e Hy : Ht(q,p,t)
generica. Si scriva I'operatore unitario t/6(ú) che genera I'evoluzione temporale della particella libera. [Z pt ]
Si scelga V(t) : t/e(ú) (rappresentazione di interazione) e .F/1 :
I'Hamiltoniana 11(ú):
Si ponga ora ó
:
0. Scrivere t/(ú) per questa scelta di
.F/.
-'yq - óp. Si determini in
questo caso
[3 pt']
12
pt.l
(1-
Sapendo che I'operatorc
Ú(fl
-
è delta forma
ú1t1
:
/i,.vot2\
"*p
(; t_
/i
)".p (; t
/ ;
\
ot)exv
\
(-i ",t,;
si determini la funzione o(ú), che non dipende da posizione ed impulso, sfruttando I'equazione differenziale
che tale operatore deve soddisfare.
[5 pt.]
La formula di Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin dice che
log(expxexpy)
: x +y +tlx,yl+ ilx,W,yll+ |[x,yl,yl+...
dove le correzioni ulteriori sono nulle quando IX
,lX
,f]]
del primo termine dovuto alla non commutatività tra
TJtilízzarcquesta formula per esprimer
Vi
e [[X, Y], Y] sono c-numeri. Dimostrare la correttezza
eY
[3 pt.]
X
.
e Ú1t1come l'esponenziale di un operatore.
è un secondo metodo per determinare la funzione a(ú),
Hausdorff-Dynkin nella relazione traÚ(t)
eU(t).
[2 pt.]
owero utilizzarela formula di gater-Cumpbell-
Verificare che si ottiene lo stesso
risultato.
[6 pt.]
