MATEMATICA DISCRETA (Informatica e Informatica per le

MATEMATICA DISCRETA
(Informatica e Informatica per le Telecomunicazioni)
preparazione alla prima prova intermedia
Docenti BIANCHI e TURRINI
A) Si dimostri, per induzione su n ≥ 2, che
n
X
3k = 32 + 33 + ... + 3n =
k=2
3n+1 − 9
2
B)Sia X = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su X cosı̀ definita
R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, b), (e, e)}
i) Si costruisca la matrice di incidenza di R.
Si dica giustificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono
V(vere), F(false):
ii) R è riflessiva
iii) R è antisimmetrica
iv)R è transitiva
v)R è un’applicazione da X a X.
C) Sia Q l’insieme dei numeri razionali e si consideri l’applicazione
g : Q × Q −→ Q
cosı̀ definita:
g(x, y) = x2 + y 2 .
i) Si stabilisca se g è iniettiva.
ii) Si stabilisca se g è suriettiva.
D)Al variare del parametro reale k, si
sistema lineare :

 x +2y
3x +2y

2x −y
1
discuta la risolubilità del seguente
=k
=2
=k
E) Sia A = {2, 4, 5, 20, 100} e si consideri la relazione d’ordine R in A definita
da
nRm se e solo se n divide m.
i) Indicare le coppie in relazione.
ii) Quanti sono i vertici e quanti gli spigoli del diagrama di Hasse di R?
iii) Stabilire se esiste un massimo e se esiste un minimo per la relazione R.
F)Si dimostri, per induzione su n ≥ 0, che
n
X
6
7n+1 − 1
6
6
6
=6+ +
+ ... + n =
h
7
7 49
7
7n
h=0
G) Sia A = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su A cosı̀ definita
R = {(a, a), (a, d), (b, a), (b, c), (c, d), (d, a), (d, e)}
Si dica giustificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono
V(vere), F(false):
i) R è riflessiva
ii) R è simmetrica
iii) R è antisimmetrica
iv)R è transitiva
v)R è un’applicazione da A a A.
H) Sia A = {a, b, c, d, e} e sia R la relazione su A cosı̀ definita
R = {(a, a), (a, c), (a, e), (b, b)(b, c), (c, c), (c, e), (d, c), (d, d), (d, e), (e, e)}
i) Stabilire se R è una relazione d’equivalenza ed in caso affermativo elencare
gli elementi della classe di equivalenza di {b}.
ii) Stabilire se R è una relazione d’ordine ed in caso affermativo elencare gli
spigoli del relativo diagramma di Hasse che hanno un vertice in c.
K) Sia Q l’insieme dei numeri razionali e si consideri l’applicazione
f : Q × Q −→ Q × Q
cosı̀ definita:
f (x, y) = (xy, x).
Si dica giustificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono
V(vere), F(false):
2
i) f −1 (1, 0) è l’insieme vuoto.
ii) f (0, 8) = (0, 0).
iii) f −1 (0, 0) = {(0, 0)}.
iv) f è iniettiva.
v) f è suriettiva.
L) Sia Z l’insieme dei numeri relativi e si consideri la relazione R in Z definita
come segue:
nRm se e solo se | n |≥| m |
ove | t | denota il valore assoluto del numero intero t.
Si dica giustificando brevemente la risposta se le seguenti affermazioni sono
V(vere), F(false):
i) R è riflessiva
ii) R è simmetrica
iii) R è antisimmetrica
iv)R è transitiva
M) Sia Q l’insieme dei numeri razionali e si consideri l’applicazione
f : Q −→ Q
cosı̀ definita:
f (x) = 2x + 2.
1
2
Si denotino con f = f, f = f ◦ f, f 3 = f ◦ f ◦ f, ... le applicazioni che si
ottengono componendo f con se stessa iteratamente.
Si dimostri, per induzione su n, che, per ogni n ≥ 1, è:
f n (x) = 2n x + 2n+1 − 2.
N) Sia A = {a, b, c, d}, e si consideri la relazione R in A la cui matrice
d’incidenza (da completare) è


1 1

1 1 0 

M =
 0 0
1 
0 0 0
i) È possibile completare la matrice M in modo che R risulti una relazione
d’ordine?
ii) È possibile completare la matrice M in modo che R risulti una relazione
d’equivalenza?
O) Si risolvano i seguenti sistemi lineari
3

 x +y
x

3x +y

 x +2y
y

x +2y
P)Al variare del parametro reale
sistema lineare :

x

(k − 1)x

x
=1
+z = 2
+2z = 6
+3z
+2z
+4z
+2w = 2
+w = 3
+4w = 5
k, si discuta la risolubilità del seguente
−2y
+3y
+3y
=3
= −3
=k−3
Q) Al variare del parametro reale k si discuta la risolubilità e si trovino le
soluzioni del sistema:
2
(k − 4)x +ky = 2
2
(k + 2)x +2y = k2 .
4