Nell`insieme N × N si considerino le relazioni ρ, σ cos`ı definite: (a, b

Nell’insieme N × N si considerino le relazioni ρ, σ cosı̀ definite:
(a, b)ρ(c, d)
(a, b)σ(c, d)
⇐⇒
⇐⇒
a + c = b + d.
a + d = b + c.
e si dica se godono (oppure no) della proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva.
Consideriamo la relazione ρ.
• Riflessiva: (a, b)ρ(a, b) ⇐⇒ a + a = b + b.
In generale non è verificata: basta considerare, ad esempio, la coppia (1, 2)
e si vede che 1 + 1 6= 2 + 2.
• Simmetrica: Sia (a, b)ρ(c, d), cioè a+c = b+d. Si deduce, per la proprietà
commutativa della somma in N, che c + a = d + b e quindi la relazione è
simmetrica.
• La relazione non è antisimmetrica in quanto, ad esempio (1, 2)ρ(2, 1),
(2, 1)ρ(1, 2) e (1, 2) 6= (2, 1).
• Transitiva: non vale. Controesempio: (1, 2)ρ(3, 2), (3, 2)ρ(1, 2) ma (1, 2)
non è in relazione con (1, 2).
Consideriamo la relazione σ.
• Riflessiva: (a, b)σ(a, b) ⇐⇒ a + b = b + a : vero per la proprietà
commutativa della somma in N.
• Simmetrica: Sia (a, b)σ(c, d), cioè a + d = b + c ⇒ c + b = d + a ⇒
(c, d)σ(a, b).
• La relazione non è antisimmetrica in quanto, ad esempio (1, 2)σ(2, 3),
e (2, 3)σ(1, 2) ma (1, 2) 6= (2, 3).
• La relazione è transitiva: infatti (a, b)σ(c, d), (c, d)σ(e, f ) ⇒ a + d =
b + c, c + f = d + e. Sommando membro a membro (e utilizzando la
proprietà commutativa e di semplificazione della somma in N), si ottiene
a + f = b + e ⇒ (a, b)σ(e, f ).
La relazione σ è quindi una relazione di equivalenza, permette quindi di suddividere l’insieme N × N in classi di equivalenza (che sono una partizione di
N × N).
Determiniamo tali classi.
Se a ≤ b
[(a, b)]σ = {(x, y)|(x, y)σ(a, b)} = {(x, y)|a + y = b + x} = {(x, x + b − a)}
Se b < a
[(a, b)]σ = {(x, y)|(x, y)σ(a, b)} = {(x, y)|a + y = b + x} = {(y + a − b, y)}.
Si può vedere anche graficamente: gli elementi di ciascuna classe sono posti
su una semiretta parallela alla retta y = x, e stanno nel primo quadrante (siamo
in N × N ).
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