Nell’insieme N × N si considerino le relazioni ρ, σ cosı̀ definite: (a, b)ρ(c, d) (a, b)σ(c, d) ⇐⇒ ⇐⇒ a + c = b + d. a + d = b + c. e si dica se godono (oppure no) della proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva. Consideriamo la relazione ρ. • Riflessiva: (a, b)ρ(a, b) ⇐⇒ a + a = b + b. In generale non è verificata: basta considerare, ad esempio, la coppia (1, 2) e si vede che 1 + 1 6= 2 + 2. • Simmetrica: Sia (a, b)ρ(c, d), cioè a+c = b+d. Si deduce, per la proprietà commutativa della somma in N, che c + a = d + b e quindi la relazione è simmetrica. • La relazione non è antisimmetrica in quanto, ad esempio (1, 2)ρ(2, 1), (2, 1)ρ(1, 2) e (1, 2) 6= (2, 1). • Transitiva: non vale. Controesempio: (1, 2)ρ(3, 2), (3, 2)ρ(1, 2) ma (1, 2) non è in relazione con (1, 2). Consideriamo la relazione σ. • Riflessiva: (a, b)σ(a, b) ⇐⇒ a + b = b + a : vero per la proprietà commutativa della somma in N. • Simmetrica: Sia (a, b)σ(c, d), cioè a + d = b + c ⇒ c + b = d + a ⇒ (c, d)σ(a, b). • La relazione non è antisimmetrica in quanto, ad esempio (1, 2)σ(2, 3), e (2, 3)σ(1, 2) ma (1, 2) 6= (2, 3). • La relazione è transitiva: infatti (a, b)σ(c, d), (c, d)σ(e, f ) ⇒ a + d = b + c, c + f = d + e. Sommando membro a membro (e utilizzando la proprietà commutativa e di semplificazione della somma in N), si ottiene a + f = b + e ⇒ (a, b)σ(e, f ). La relazione σ è quindi una relazione di equivalenza, permette quindi di suddividere l’insieme N × N in classi di equivalenza (che sono una partizione di N × N). Determiniamo tali classi. Se a ≤ b [(a, b)]σ = {(x, y)|(x, y)σ(a, b)} = {(x, y)|a + y = b + x} = {(x, x + b − a)} Se b < a [(a, b)]σ = {(x, y)|(x, y)σ(a, b)} = {(x, y)|a + y = b + x} = {(y + a − b, y)}. Si può vedere anche graficamente: gli elementi di ciascuna classe sono posti su una semiretta parallela alla retta y = x, e stanno nel primo quadrante (siamo in N × N ). 1