Semplici proprietà delle funzioni e degli insiemi Q ed R

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Esercizi 1
(1) Risolvere le seguenti disuguaglianze:
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
√
x2 − 1
1 − 2x
x2 − 2
√
> 0,
≤ 0,
<1
3
x −1
2x − 3
x+2
√
√
√
x−1
x−2
1−x
√
> 2,
≥
,
1 − x ≥ 1 + x,
x−2
x−1
1+x
q
2
√
2x3 − 1
x −x+1
>
1,
<
2,
x
+
1 + x ≤ 0.
x2 − 2x + 1
x3 + 1
Se α < β sono due numeri razionali, è vero che esiste sempre un numero c reale, con
α < c < β?
Se α < β sono due numeri reali, è vero che esiste sempre un numero c reale e non
razionale, con α < c < β?
È vero che se la somma di due numeri reali è un numero razionale, allora i numeri sono
razionali?
Verificare che A ⊆ B ⇐⇒ B c ⊆ Ac .
per quali sottoinsiemi A e B di un insieme ambiente X è possibile che A ∪ B = Ac ∪ B?
La funzione f : N → N, f (n) = n2 + n è iniettiva? La funzione g : N → N, g(n) = n3 + n
è iniettiva? La funzione h : N → N, g(n) = n3 + 2n2 + n è iniettiva?
Verificare che se f e g sono funzioni iniettive, allora la funzione f ◦g è anch’essa iniettiva.
Sia a ∈ Z un parametro e f : Z → Z, f (n) = an. Per quali valori di a si ha (f ◦ f )(n) = n
per ogni n? Per quali valori di a si ha (f ◦ f )(n) = f (n) per ogni n?
L’insieme A = {x ∈ Q : 5x ∈ Z} è numerabile? L’insieme B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} è
numerabile? Esiste una corrispondenza biunivoca tra B ed R, ovvero, tra il segmento
[0, 1] e l’intera retta?
L’insieme dei punti di un quadrato sono ”più” o ”meno” dei punti di un suo lato?
La domanda precedente è in realtà (volutamente) mal posta. La domanda corretta è
invece: esiste un’applicazione biunivoca del quadrato verso un suo lato, ovvero, di
(0, 1) × (0, 1) → (0, 1)? Per rispondere considerate questo ragionamento. Ogni numero
reale è dato (in modo sostanzialmente unico) da un allineamento decimale infinito. considerate la funzione f : (0, 1) × (0, 1) → (0, 1), data da
α = 0, a1 a2 a3 a4 · · · ,
β = 0, b1 b2 b3 b4 · · · ,
f (α, β) = 0, a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 · · ·
ovvero, f (α, β) è quel numero reale la cui rappresentazione decimale è ottenuta alternando le cifre decimali di α e β; ad esempio
α = 0, 218547 · · · ,
β = 0, 368913 · · · ,
f (α, β) = 0, 231688594173 · · · .
Verificate che l’applicazione f è biunivoca e che quindi nel quadrato vi sono tanti punti
quanti ve ne sono in un segmento.
(13) E nel cubo? Vi sono più o meno punti che in un suo lato?
(14) Osservate che 1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 + 9 + 7 = 16 = 42 . Provate a
formulare una congettura che spieghi questi risultati ed a dimostrarla.
(15) Sviluppare i binomi (1 + x)6 , (2 − x)4 , (a − b)5 .
1
9 8
(16) Determinare il valore dei seguenti coefficienti binomiali: 43 , 74 , 10
5 , 3 , 6 .
(17) Osservate che 00 = 1 = 20 , 10 + 11 = 1 + 1 = 2, 20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 ,
3
3
3
3
3
0 + 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 . Questi risultati portano a congetturare
che la somma dei coefficienti binomiali presenti su una
del
di Tartaglia
triangolo
Priga
n
n
n per ogni n. La
=
2
sia sempre una potenza di 2; più precisamente che:
k=0 k
congettura è corretta. Dimostratela.
(18) Osservate che 10 − 11 = 1 − 1 = 0, 20 − 21 + 22 = 1 − 2 + 1 = 0, 30 − 31 +
3
3
2 − 3 = 1 − 3 + 3 − 1 = 0. Questi risultati portano a congetturare che la somma a
segni alternati dei coefficienti binomiali
una riga del triangolo di Tartaglia
Pnpresentik su
n
(−1)
sia sempre 0; più precisamente che:
k=0
k = 0 per ogni n. La congettura è
corretta. Dimostratela.
(19) L’insieme A = {x ∈ R : x2 < x} è un insieme limitato superiormente? Qual è l’estremo
superiore?
(20) Qual è l’estremo inferiore dell’insieme A = {x ∈ Q : x2 − 4x + 2 < 0}? Quale l’estremo
superiore?
(21) Quali sono i punti di accumulazione dell’insieme A dell’esercizio precedente? L’insieme
A è un insieme chiuso? L’insieme A0 (l’insieme dei punti di accumulazione di A) è un
insieme chiuso?
(22) Sia A = [0, 2) ∩ Q. Determinare A0 , ovvero l’insieme dei punti di accumulazione di A.
√
√
(23) Sia A l’insieme dei multipli razionali di 2, ovvero A = {a 2, a ∈ Q}. l’insieme A è
denso in R, ovvero, dati due numeri reali qualsiasi (distinti), esiste sempre un elemento
di A tra di essi?
(24) Considerate i numeri generati da queste regole: x1 = 2, xn+1 = 1 + xn1+1 , cosı̀ che,
ad esempio, x2 = 1 + 1/(x1 + 1) = 1 + 1/(2 + 1) = 4/3, x3 = 1 + 1/(x2 + 1) =
1 + 1/( 43 + 1) = 1 + 37 = 10
7 , e cosı̀ via. Osservate che ogni xn è razionale. Calcolate
|x2n − 2| per alcuni n, ed osservate che tali numeri diventano molto piccoli al crescere di
n (ad esempio |x23 − 2| < 0, 01)
√ e questo significa che i numeri razionali xn sono ottime
approssimazioni del numero 2.
(25) Nell’esercizio precedente si è chiesto di verificare numericamente che |x2n − 2| è tanto più
piccolo quanto più n è grande. Ovviamente alcune verifiche numeriche non costituiscono
di per sé una dimostrazione di questo fatto. Tuttavia potete dare una dimostrazione
di questo fatto completando e verificando le seguenti osservazioni (ogni affermazione è
dimostrata usando l’affermazione precedente):
i) ogni xn è ≥ 0,
ii) ogni xn è ≥ 1,
2 −2|
iii) |x2n+1 − 2| = (x|x2n+1)
2,
n
iv) |x2n+1 − 2| ≤ 14 |x2n − 2|,
v) |x2n+1 − 2| ≤ 41n .
L’ultima affermazione dimostra che effettivamente |x2n − 2| diventa sempre più piccolo
man mano che n cresce.
√
(26) È possibile stabilire quale degli xn fornisce un’approssimazione razionale
di
2 che sia
√
corretta entro le prime otto cifre decimali
(e
quindi
con
un
scarto
da
2
inferiore
a 10−8 )?
√
√
√
2
(Risposta: Certo, infatti |xn+1 − 2| ≤ |xn+1 − 2||xn+1 + 2| = |xn+1 − 2| ≤ 41n e
√
quindi perché |xn+1 − 2| sia inferiore a 10−8 , basta prendere n in modo che 41n < 10−8
e cosı̀ basta prendere n = 14).
(27) Considerate i numeri generati da queste regole: x1 = 2, xn+1 = 1 + xn2+1 , cosı̀ che,
ad esempio, x2 = 1 + 2/(x1 + 1) = 1 + 2/(2 + 1) = 5/3, x3 = 1 + 2/(x2 + 1) =
1 + 2/( 53 + 1) = 1 + 34 = 74 , e cosı̀ via. Calcolate |x2n − 3| per alcuni n ed osservate che tali
numeri diventano molto piccoli
√ al crescere di n mostrando cosı̀ che gli xn sono ottime
approssimazioni
del numero 3, esattamente come accadeva negli esercizi precedenti per
√
il numero 2. Sapreste adattare gli esercizi precedenti a questa nuova situazione?
2
(28) E’ ben noto che (1 − x2 ) = (1 − x)(1 + x) e probabilmente è altrettanto ben noto che
(1 − x3 ) = (1 − x)(1 + x + x2 ). In realtà questi sono casi particolari di una identità
generale secondo la quale 1 − xn = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn−1 ) per ogni numero
n ≥ 1. Dimostrate questa proprietà.
(29) Osservate che 12 + 1 = 2, 22 + 2, 32 + 3, 42 + 4, 52 + 5 sono tutti numeri pari. Questo
porta a congetturare che n2 + n sia pari per ogni scelta di n. Dimostratelo.
(30) Osservate che 11 + 1 = 2, 22 + 2, 33 + 3, 44 + 4, 55 + 5 sono tutti numeri pari. Questo
porta a congetturare che nn + n sia pari per ogni scelta di n. Dimostratelo.
3
Soluzioni
(1) Nello stesso ordine:
√
√
− 2 < x < −1, x > 1,
x ≤ 1/2, x > 1,
x≤
1 < x ≤ 3/2, x > 2,
− 1 < x < −3/5,
0 < x < 1, 1 < x,
x > −1,
− 1 ≤ x ≤ 0,
√
x = (1 − 5)/2.
(2) Ovvio, basta prendere c = (α + β)/2.
2,
2 ≤ x < 3/2, x > (6 +
√
3)/3,
√
√
√
(3) Sappiamo che c’è un razionale r tra α + 2 e β + 2 2. Sia c = r − 2. c non è razionale
ed è compreso tra α e β.
√
√
√
(4) No. 2 − 2 = 0, eppure 2 6∈ Q.
(5) Sia x ∈ B c . Allora x 6∈ B. Se x appartenesse ad A allora apparterrebbe anche a B (dato
che A ⊆ B) che è falso, dunque x 6∈ A ovvero x ∈ Ac .
(6) B deve essere X. Dimostrare prima che A ⊆ B e dimostrare poi che B c = ∅.
(7) Si. Si. Si.
(8) Supponete che (f ◦g)(a) = (f ◦g)(b). Per la definizione di composizione f (g(a)) = f (g(b)).
Ma f è iniettiva quindi deve essere g(a) = g(b). Ma g è iniettiva quindi a = b.
(9) Per a = ±1. Per a = 0 o a = 1.
(10) Si. No. Si.
(11) La cardinalità è la stessa (vedi esercizio successivo).
(12) La soluzione è nel testo.
(13) La cardinalità è la stessa.
(14) Dimostrate (per induzione) che 1 + 3 + · · · + (2k + 1) = (k + 1)2 .
(15) (1 + x)6 = 1 + 6x + 15x2 + 20x3 + 15x4 + 6x5 + x6 , (2 − x)4 = 16 − 32x3 + 24x2 − 8x3 + x4 ,
(a − b)5 = a5 − 5a4 b + 10a3 b2 − 10a2 b3 + 5ab4 − b5 .
9
8
(16) 43 = 4, 74 = 35, 10
=
252,
=
84,
5
3
6 = 28.
P
(17) Basta prendere la formula del binomio di Newton (x + y)n = kn=0 nk xk y n−k e porre
x = y = 1.
P
(18) Basta prendere la formula del binomio di Newton (x + y)n = kn=0 nk xk y n−k e porre
x = 1, y = −1.
(19) Si e l’estremo superiore è 1.
√
√
(20) Rispettivamente 2 − 2 e 2 + 2.
√
√
(21) Tutti i punti dell’intervallo [2 − 2, 2 + 2] sono di accumulazione per A. L’insieme A
non è chiuso, l’insieme A0 è chiuso.
(22) A0 = [0, 2].
(23) Si.
(24) La soluzione è nel testo.
(25) La soluzione è nel testo.
(26) La soluzione è nel testo.
(27) La soluzione è nel testo.
(28) Si può procedere per induzione. Per n = 1 l’identità afferma che (1 − x) = (1 − x) · 1 ed
è quindi ovviamente vera. Supponiamo ora vera l’affermazione per un certo (generico)
valore di n e mostriamo che da essa segue la verità dell’affermazione con n sostituito da
n + 1. Infatti:
1 − xn+1 = (1 − xn ) + (xn − xn+1 )
= (1 − xn ) + xn (1 − x)
4
usando l’ipotesi induttiva (1 − xn ) = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn−1 ), quindi
= (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn−1 ) + xn (1 − x)
raccogliendo il termine comune (1 − x) si ha
= (1 − xn )(1 + x + x2 + · · · + xn−1 + xn )
che è la tesi. La dimostrazione è conclusa.
(29) Procediamo per induzione. Quando n = 1 la tesi afferma che 11 + 1 è pari, cosa che è
ovviamente vera. Supponiamo ora vera l’affermazione per un certo (generico) valore di
n e mostriamo che da essa segue la verità dell’affermazione con n sostituito da n + 1.
Infatti:
(n + 1)2 + n = n2 + 2n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + 2(n + 1).
Usando l’ipotesi induttiva possiamo affermare che n2 + n è pari e dato che ovviamente
anche il termine 2(n + 1) è pari risulta pari anche la loro somma La dimostrazione è
conclusa.
(30) Procedere per induzione come nell’esercizio precedente.
5