Autovalori ed Autovettori

Alessio Massetti Geometria ed Algebra Lineare Autovalori ed Autovettori Definizione Def Dato T endomorfismo di uno spazio vettoriale V sul campo  un numero scalare  si dice autovalore di T se esiste un vettore non nullo v  V (detto autovettore di T) tale che T (v )   v Interpretazione geometrica Un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore. Teo Un endomorfismo T di uno spazio V n    ha una matrice associata diagonale se e solo se V n    ha una base costituita da autovettori di T. Es. Spazio: V   2 1 0 
A
 0 2 
 x  x 
A     
 y  2 y 
1  0 
 0  e 1  (le due colonne della matrice) sono autovettori.    
1 0 
1 
ed il vettore degli autovalori è   . La matrice base è 

0 1 
 2
Più in generale possiamo definire A in questo modo: Spazio: V   n 1 0
0 
2
A
0 0

0 0
0
0
3
0
0
0 
0

n 
1 Alessio Massetti Geometria ed Algebra Lineare Polinomio caratteristico Calcoliamo ora gli autovalori e gli autovettori di un endomorfismo qualunque T. E’ necessario verificare prima il seguente Teorema Teo. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1) Lo scalare    è un autovalore di T 2) x  0 in  2 | Ax   x 3) det  A   I n   0 Dim. Se vale la prima allora esiste T (v)   v con Ax   x con Ma per la seconda abbiamo E siccome T (v)  Ax perché  è autovalore sono verificate. Per quanto riguarda la terza se è vero che Ax   x   Ix Allora vale v  0 x  0 Ax   Ix  0
 A  I  x  0
 (binet)
det  A   I  x  det 0
det  A   I  x  0
Abbiamo due casi det  A   I   0  x  0
det  A   I   0  x  0
Ma per la seconda è per forza il primo. Def. Il polinomio nella variabile  P     det  A   I n  è il polinomio caratteristico dell’endomorfismo T. Es. Data la matrice A  0 1 1
A   1 1 0   1 0 1 
Il suo polinomio caratteristico è 1
1 
 

0    3  2 2    2 
P     det  A   I n   det  1 1  
 1
0 1   
     2    1   1
Gli autovalori sono quindi 2, 1, ‐1 2 Alessio Massetti Geometria ed Algebra Lineare Diagonalizzabilità Teo. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se vale la seguente proprietà: h
 E     n dove lo spazio dell’endomorfismo T è generato dagli autovalori sp(T )   , ,   i 1
i
1
h
Possiamo infatti scrivere il polinomio caratteristico come:    2  ...    n   f     Dove mi  ma  i  (ovvero quante volte quell’autovalore è soluzione) P (T )     1 
m1
m2
mh
Vale quindi che m1  m2  ...  mh  n Questa relazione vale sempre nei complessi, non sempre nei reali. Oss. L’endomorfismo T è diagonalizzabile se e solo se tutte le radici del polinomio caratteristico sono reali. 3