Autovalori e autovettori
Sia A ∈ K una matrice quadrata di ordine n a coecienti in
un campo K. Si dice
per A ogni vettore colonna X ∈ K \ {O} tale
che esista un λ ∈ K con
Denizione 1.
n ,n
n ,1
autovettore
AX = λX.
Lo scalare λ è detto
di A (associato a X).
Sia I ∈ K la matrice identica di ordine n. La scrittura (A − xI) corrisponde ad un polinomio a coecienti in K nell'indeterminata x. Esso è indicato
con
autovalore
n,n
det
pA (x) = det(A − xI),
e viene chiamato
Teorema 1.
polinomio caratteristico di
Sia
A ∈ Kn n .
,
Uno scalare
A
.
λ ∈ K
è autovalore per
A
se, e
solamente se,
pA (λ) = 0.
Dimostrazione.
n ,1
colonna X ∈ K
Anché λ sia autovalore per A è necessario che esista un vettore
con X 6= O tale che
AX = λX.
In particolare X deve essere una soluzione non banale del sistema lineare omogeneo
(A − λI)X = O.
Soluzioni di tale fatta esistono se, e solamente se, il sistema non è di Cramer,
cioè
det
(A − λI) = 0.
Questo corrispondere a chiedere che λ sia radice del polinomio caratteristico di
A, p (x).
A
Teorema 2.
Matrici simili hanno il medesimo polinomio caratteristico.
1
Siano A B ∈ K due matrici simili. Allora, esiste
(n K) tale che B = C AC. Pertanto,
Dimostrazione.
GL
C ∈
−1
,
pA (x) =
n,n
,
det
1
(A − λI) =
det
C
−1
det
(C
det
(A − λI) det C = det C−1 det(A − λI) det C =
AC − λC−1 C) = det(B − λI) = pB (x).
La tesi segue.
In particolare, due matrici simili hanno i medesimi autovalori.
Teorema 3.
Sia
A ∈ Kn n
,
e supponiamo che
λ
sia un suo autovalore.
L'insieme
Vλ = {X ∈ Kn 1 : FX = λX}
,
Kn 1 . Tale insieme consta di tutti gli
tori di A associati all'autovalore λ e del vettor nullo. Esso è detto
di A relativo all'autovalore λ.
è un sottospazio vettoriale di
Teorema 4.
Siano
λ, µ
,
autovet-
autospazio
due autovalori distinti della medesima matrice
A.
Allora,
Vλ ∩ Vµ = {O}.
Dimostrazione.
Supponiamo X ∈ V
λ
∩ Vµ
. Allora,
AX = λX = µX,
da cui
(µ − λ)X = O.
Poiché λ 6= µ, la relazione di cui sopra implica X = O, da cui segue la tesi.
Denizione 2. Sia A ∈ K e supponiamo che λ sia un suo autovalore. Si dice
λ (in simboli, m (λ)) la molteplicità di λ come radice
del polinomio caratteristico p (x). È detta invece
λ (in simboli, m (λ)) la dimensione dell'autospazio V .
In particolare m (λ) è il più grande intero tale che
n ,n
molteplicità algebrica di
a
molteplicità geometrica di
A
g
λ
a
(x − λ)ma (λ) |pA (x);
invece,
mg (λ) = dim Vλ = n − rango(A − λI).
2
Teorema 5. Sia A ∈ Kn n e supponiamo che λ sia un suo autovalore.
,
Allora,
1 6 mg (λ) 6 ma (λ).
Una matrice si dice
simile ad una matrice diagonale.
Denizione 3.
Teorema 6.
chiamati
Una matrice
λ1 , λ2 , . . . , λr
diagonalizzabile
A ∈ Kn n
,
se, e solamente se, essa è
è diagonalizzabile se, e solamente se,
i suoi autovalori si ha
mg (λ1 ) + mg (λ2 ) + . . . + mg (λr ) = n.
3
