Prova scritta di geometria - Canale A
Prima parte.
1. Risolvere, al variare del parametro k, il seguente sistema lineare:
x + (k − 1) y + (k − 1) z = 1
(k − 1) x + (2k − 3)y + z = 1
2. Sia ϕ : C3 → C3 l’endomorfismo rappresentato, rispetto alla base canonica
di C3 dalla matrice
−5 −5 4
1
1 0
−2 −2 2
(a) determinare il polinomio caratteristico di ϕ;
(b) determinare il polinomio minimo di ϕ;
(c) determinare la decomposizione in autospazi generalizzati di C3 indotta da ϕ;
(d) dire se ϕ è diagonalizzabile.
(i quattro punti possono anche essere svolti in modo indipendente)
Seconda parte.
1. Nello spazio vettoriale R3 dotato di prodotto scalare standard, si consideri
il piano π di equazione x−y+2z = 0. Sia S : R3 → R3 la simmetria rispetto
al piano π. Scrivere la matrice che rappresenta l’endomorfismo S rispetto
alla base canonica di R3 .
(Suggerimento: sia B = {e1 , e2 , e3 } una base di R3 con e1 ed e2 appartenenti al piano π ed e3 ortogonale a π. Qual è la matrice che rappresenta
S rispetto alla base B? Un altra possibilità, a dire il vero più rapida ed
elegante ma forse meno intuitiva, consiste nel lavorare solamente con la
proiezione ortogonale di un vettore sulla retta ortogonale al piano π: se
avete visto questa tecnica usatela tranquillamente)
2. Su R2 dotato del prodotto scalare standard si consideri la forma quadratica
Q definita da
Q(x, y) = x2 − 24 xy − 6 y 2
(a) determinare la segnatura di Q;
(b) determinare una base ortonormale di R2 (rispetto al prodotto scalare
standard) che diagonalizzi Q.
