LAUREA IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2
Modulo di Algebra lineare
giugno 2014
1. Sia G un gruppo abeliano di cardinalità finita non ciclico generato da 2 elementi
g1 e g2 e siano
a1 g1 + a2 g2 = b1 g1 + b2 g2 = 0G , a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z,
delle relazioni complete per questi generatori, cioè la matrice
a1 a2
A :=
∈ M(2, Z)
b1 b2
è di presentazione per lo Z-modulo G. Quale delle seguenti condizioni
i) det A = 0;
ii) det A = 1;
iii) det A = 2
è compatibile con i dati?
(a) la i;
(b) la ii;
(c) la iii;
(d) né i, né ii, né iii.
Soluzione. Una diagonalizzazione di A prevede che la matrice sia moltiplicata
a sinistra e a destra per matrici invertibili, cioè per matrici aventi determinante
±1, essendo questi gli unici interi invertibili: dunque una diagonalizzazione di
A produce una matrice
d1 0
D=
0 d2
tale che d1 d2 = ± det A. Si possono fare a questo punto le seguenti considerazioni:
• se fosse det A = 0, uno almeno tra d1 e d2 dovrebbe essere 0, sia d2 , e G
sarebbe isomorfo a Zd1 ⊕ Z se d1 =
6 0, a Z2 se anche d1 = 0, ambedue
gruppi di cardinalità infinita;
• se fosse det A = 1, allora |d1 | = |d2 | = 1, e ciò richiede che ogni generatore
di G è nullo;
• se fosse det A = 2, allora non è restrittivo supporre |d1 | = 1 e |d2 | = 2 e G
sarebbe isomorfo a Z2 .
2. Si ponga S := X ∈ M(5, Q) : X 6 = X 3 e sia A ∈ S una matrice di polinomio
caratteristico T3 (T − 1)2 . Individuare l’affermazione corretta:
(a) una tale matrice A non può esistere;
(b) la classe di similitudine di una tale matrice A è univocamente determinata;
(c) vi sono precisamente due classi di similitudine per una tale matrice A;
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(d) vi sono precisamente tre classi di similitudine per una tale matrice A.
Soluzione. Il polinomio minimo di A deve dividere T6 − T3 = T3 (T − 1)(T2 +
T+1), ma divide anche T3 (T−1)2 . Poiché il prodotto dei divisori elementari dà
il polinomio caratteristico, per i divisori elementari di A si possono presentare
solo i seguenti casi:
• T − 1, T − 1, T3 ;
• T − 1, T − 1, T2 , T;
• T − 1, T − 1, T, T, T.
Dunque vi sono tre possibili classi di similitudine.
3. Si denoti con V lo spazio vettoriale M(2, k) delle matrici 2 × 2 a coefficienti in
un dato campo k. Tra le seguenti affermazioni riguardanti un endomorfismo ϕ
di V di polinomio caratteristico (T − a)(T − b)(T − c)(T − d):
- ϕ è idempotente se, e solamente se, {a, b, c, d} = {0k , 1k };
- ϕ commuta tutti gli endomorfismi di V se, e solamente se, a = b = c = d;
- ϕ è diagonalizzabile se, e solamente se, a, b, c, d sono a due a due distinti;
quelle corrette sono:
(a) nessuna;
b) esattamente una;
(c) esattamente due;
(d) tutte;
Soluzione.
• Certamente se ϕ è idempotente i suoi autovalori sono 0k e 1k , ma non
tutti gli endomorfismi di V aventi autovalori 0k e 1k sono idempotenti, per
esempio quelli di polinomio minimo T2 (T − 1k )2 ;
• un endomorfismo che commuta con tutti gli endomorfismi è scalare, ma
non tutti gli endomorfismi aventi un unico autovalore a sono scalari, per
esempio quelli di polinomio minimo (T − a)r per r > 1;
• se a, b, c e d sono a due a due distinti certamente ϕ è diagonalizzabile, ma
non tutti gli endomorfismi diagonalizzabili hanno autovalori distinti, per
esempio quelli scalari.
4. Si consideri l’endomorfismo lineare ϕ di Q3 individuato dall’applicazione
(x, y, z) 7→ (x, az, y + bz).
Tra le seguenti condizioni sui parametri a e b individuare quella che garantisce
che ϕ abbia periodo 3.
(a) a = b = 0;
(c) a = b = −1;
(b) a = 0, b = 1;
(d) a = 0, b = −1;
Soluzione. Se ϕ ha periodo 3 deve essere in particolare invertibile (l’inverso in
tal caso è ϕ2 ): sono quindi da escludere i casi (a), (b), (d) nei quali ϕ ha rango
2. Si può controllare che ϕ3 = idQ3 nel caso (c).
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5. Sia ϕ ∈ EndR R5 . Tra le seguenti informazioni individuare l’unica che non
determina univocamente i divisori elementari di ϕ:
(a) ϕ4 = 0EndR R5 6= ϕ3 ;
(b) ϕ2 = ϕ e dim ker ϕ = 2;
(c) ϕ ha polinomio minimo T2 − 1;
(d) ϕ2 = idR5 e ϕ(x) 6= x ∀x ∈ R5 .
Soluzione. Si ha:
la condizione (a) ci dice che ϕ è nilpotente d’indice 4 ed un tale endomorfismo
di R5 ha divisori elementari T4 e T;
la condizione (b) richiede che ϕ sia idempotente con due divisori uguali a T e
tre uguali a T − 1;
la condizione (c) concede due possibilità ai i divisori elementari di ϕ: o sono
T2 − 1, T2 − 1 e T − 1, oppure sono T2 − 1, T − 1, T − 1 e T − 1;
la condizione (d) implica che ϕ ha polinomio minimo T + 1, quindi ha 5 divisori
elementari tutti uguali a T + 1.
6. Tra i seguenti endomorfismi di C7
(a) (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) 7→ (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , 0, 0);
(b) (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) 7→ (x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0);
(c) (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) 7→ (0, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x√
6 );
√
(d) (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ) 7→ (ix1 , i2 x2 , i3 x3 , i4 x4 , 2x5 , 2x6 , − 2x7 );
individuare quello non avente polinomio minimo e polinomio caratteristico dello
stesso grado.
Soluzione. I polinomi minimi degli endomorfismi dati sono rispettivamente:
T2 − T;
T7 ;
T7 ;
(T4 − 1)(T2 − 2)(T − 2).
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