Algebra Lineare – 4. Parte. Argomenti svolti: • Cambiamenti di base

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Algebra Lineare – 4. Parte
Algebra Lineare – 4. Parte.
Argomenti svolti:
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Cambiamenti di base
Autovalori ed autovettori di un endomorfismo
Endomorfismi semplici
Autospazi
Polinomio caratteristico
ESERCIZI
1. In R3 si considerino i vettori:
u1 = (1, 0, −1), u2 = (−1, 2, 0), u3 = (0, 1, 2).
i) Provare che B1 = (u1 , u2 , u3 ) è una base di R3 .
ii) Scrivere le componenti del vettore e3 = (0, 0, 1) di R3 rispetto alla base B1 .
iii) Siano U = L(u1 ) e V = L(u2 , u3 ). Definita l’applicazione lineare f : R3 −→ R3
tale che:
(a) l’autospazio relativo all’autovalore 2 sia U ;
(b) l’autospazio relativo all’autovalore 1 sia V
scrivere la matrice A1 associata ad f rispetto alla base B1 . Indicare le operazioni
da svolgere (ma non fare i calcoli) per determinare la matrice A associata ad f
rispetto alla base canonica di R3 .
2. Sia f l’endomorfismo di R3 associato ad una delle seguenti matrici






3 1 0
0
1
1
−1 1
0
A1 =  −1 3 0  , A2 =  1
0
1  , A3 =  1 −1 0  .
0 0 −2
−1 −1 −2
2 −2 −2
(a) Determinare gli autovalori e gli autovettori.
(b) Dire se f è semplice e trovare, se esiste, una matrice diagonale simile alla
matrice considerata.
Ingegneria chimica
1
Geometria I
Algebra Lineare – 4. Parte
3. Sia f l’endomorfismo di R3 associato alla

1
A =  −1
−1
matrice

0 0
2 0 .
0 2
(a) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità.
(b) Determinare gli autospazi di f e trovare, se esiste, una base di R3 formata di
autovettori.
(c) Calcolare una matrice invertibile P in modo che P −1 AP sia diagonale.
4. Sia f l’endomorfismo di R2 soddisfacente alle seguenti condizioni:
(a) il nucleo di f è il sottospazio V = {(x, y) ∈ R2 | x − 2y = 0};
(b) il vettore v = (1, 1) è un autovettore di f relativo all’autovalore 2.
Trovare la matrice di f rispetto alla base canonica di R2 . Trovare poi una base di
R2 rispetto alla quale f si rappresenta con una matrice diagonale.
5. Data la matrice:


0 2 0
A= 2 0 0 
0 0 2
(i) determinarne autovalori e autospazi;
(ii) Determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tale che
P −1 AP = D .
6. Verificare che


2 −1 −1
A =  0 −2 0 
0 0 −2
è diagonalizzabile e trovare una matrice diagonale simile a A, precisando quale
matrice P diagonalizza.
7. Si consideri l’endomorfismo di R3 definito da
f (e1 ) = 2e1 ,
f (e2 ) = e3 ,
f (e3 ) = 0 ,
dove {e1 , e2 , e3 } è la base canonica di R3 . Si trovino autovalori ed autovettori di
f.
Ingegneria chimica
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Geometria I