Autovalori e autovettori
Cosa rappresentauna matrice
quadrata A di ordine n a coefficienti
in R?
Una trasformazione!
A= 2 0
03
v=x
y
v’ =
x’
y’
x’= 2x
y’= 3y
Graficamente questo significa, in
particolare, che i vettori che hanno la
direzione dell’asse x
sono moltiplicati per 2 (mantenendo
direzione e verso) e, analogamente, quelli
che hanno la
direzione dell’asse y sono moltiplicati per
3.
per ogni matrice quadrata, (=
trasformazione di Rn in sè) ci sono
direzioni privilegiate (cioè tali che
trasformando un vettore avente
una di queste direzioni si abbia
ancora un vettore con la stessa
direzione o il vettore nullo)?
Se sì quante?
Problema autovalori e autovettori!
Matematizziamo il problema…
Data A, quadrata di ordine n, esistono:
• uno scalare λ
• un vettore (a n componenti) v, non nullo
Tali che scrivendo v come colonna, risulti
Av = λv ???
Autovalori e autovettori
• Un vettore non nullo v è un autovettore di un
operatore A con autovalore λse e solo se
Av = λv
• In questo caso, l’azione dell’operatore A sul
suo autovettore v produce un multiplo di v
(λv), dato dalla moltiplicazione di v per
l’autovalore scalare λ.
Come calcolare gli autovalori
L’equazione vettoriale Av = λv ha soluzione
non nulla se e solo se det (A − λI) = 0.
Quindi per trovare λ devo :
• Costruire la matrice A − λI
• calcolare det (A − λI) (sarà in funzione di
λ).
• Porre det (A − λI)= 0
• Risolvere l’equazione in λ ottenuta
• Soluzioni equazione= autovalori
Equazione omotetica o agli autovalori
Esempio:
Sia data la matrice quadrata 2x2
2
A=
1 -1
(2- λ) 0
La matrice (secolare) è:
(A- λI) = 1 (-1- λ)
Det (A – λI)) = (2(2-λ)(-1-λ)=0
Pongo il determinante = 0 Det (A – λI)) = (2(2-λ)(-1-λ)=0
Risolvo: λ1 = 2 (primo autovalore); λ2 = -1 (secondo
autovalore);
0
Dati gli autovalori come si trovano
gli autovettori?
Sono le soluzioni del sistema omogeneo
(A − λI) v = 0
L’incognita del sistema omogeneo è v
Sicuramente tale equazioni avrà infinite soluzioni perché il rango
della matrice è non massimo
Per risolvere il sistema devo:
Scrivere sistema equivalente a(A − λI) v = 0
Sostituire di volta in volta valore λ
Risolvere.
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Il teorema di Cramer recita:
recita:
“Condizione necessaria e sufficiente affinché
un sistema quadrato ammetta un’unica soluzione
è che il determinante del sistema sia diverso da
zero”
Se invece il determinante è uguale a zero il
sistema ammette infinite soluzioni oppure
nessuna (sistema incompatibile)
In questo caso si ricorre al Teorema di Rouché
Rouché-Cappelli (teorema generale, valido per
qualunque sistema lineare).
lineare).
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Se il sistema quadrato è omogeneo (tutti i termini noti
c1, c2, c3 nulli)
nulli)::
[Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre
almeno la soluzione banale o nulla (0; 0; 0)]
1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) ≠
0) allora esso ammette solo la soluzione banale
banale..
2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer
(det(A)=0
(det(A)=
0), allora il sistema ammette infinite
soluzioni (quella banale e altre infinite non
banali)
Equazione omotetica o agli autovalori
Esempio:
Sia data la matrice quadrata 2x2
2
A=
L’equazione agli autovalori è:
1 -1
(A- λI) x = 0
Tale equazione omotetica è equivalente al sistema:
(2-- λ)x1 + 0x2 = 0
(2
x1 + ((-1- λ )x2= 0
0
Equazione omotetica o agli autovalori
Sostituendo il primo autovalore (2) a λ nel sistema si ha:
0 x1 + 0 x2 = 0
x1 - 3x2 = 0
Le cui soluzioni sono:
x1 = 3x2
(3)
1
u
3
Ciò significa che se assegniamo a una incognita (ad es. x2) un
valore arbitrario, l’altra assume il valore dato dalla (3); per
x2=1, x1=3.
Quindi, ad es. il vettore u = (3;1) è un autovettore
corrispondente all’autovalore 2.
Sono quindi autovettori anche tutti i vettori
C(3;1), con c numero arbitrario diverso da zero (cioè tutti i
vettori sulla stessa retta del vettore u = (3;1)
Equazione omotetica o agli autovalori
Sostituendo il secondo autovalore (-1) a λ nel sistema si ha:
3 x1 + 0 x2 = 0
1
x1 + 0 x2 = 0
Le cui soluzioni sono:
x1 = 0; x2 = x2
v
3
(3)
Ciò significa che x2 può assumere qualsiasi valore arbitrario,
Quindi, ad es. il vettore v = (0;1) è un autovettore
corrispondente all’autovalore -1.
Sono quindi autovettori anche tutti i vettori
C(0;1), con c numero arbitrario diverso da zero.
Esempio 2
A = 3
0
0 ; v = x
y
3
I = 1
0
0
1
3
x
+
0
y
x
Av =
= 3 = 3v
0x + 3 y y
v è un autovettore dell’operatore rappresentato da A, con
autovalore 3. I e A sono matrici simmetriche (ovvero gli elementi
fuori diagonale sono uguali).
Autovalori - Autovettori
Si noti che
det( A − λI)
è il determinate caratteristico di A che se nullo allora A è
una matrice singolare
a11 − λ
a12
det( A − λI) =
a21
a22 − λ
= ( a11 − λ )( a22 − λ ) − a12a21
= λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a12a21 = 0
λ1
λ2
Soluzione di A
( a11 − λ ) x1 +
+ (a22 − λ ) x2
a21 x1
x
(1)
a12 x2
λ1
λ2
x(2)
=0
=0
Autovalori - Autovettori
Esempio:
Trovare gli autovettori e corrispondenti autovalori della matrice quadrata
− 4.0 4.0
A=
− 1.6 1.2
Soluzione
det( A − λI) =
−4−λ
4
− 1.6
1.2 − λ
λ1 = −2
= λ + 2.8λ + 1.6 = 0
2
λ2 = −0.8
I corrispondenti autovettori sono dati da
( a11 − λ ) x1 +
a21 x1
a12 x2
+ (a22 − λ ) x2
Otteniamo per λ1= -2
x1 = 2
x2 = 1
=0
( −4.0 + 2.0) x1 +
=0
x
− 1.6 x1
(1)
2
=
1
4.0 x2
+ (1.2 + 2.0) x2
per λ2 = −0.8 x
( 2)
1
=
0.8
=0
=0
Polinomio caratteristico
P(λ)= Det (A – λI))
•Come determinare il polinomio caratteristico:
Se A =2x2 P(λ)= λ2-(trA) λ+detA
DetA è = al prodotto degli autovalori
