INTEGRALE
INDEFINITO
DI
UNA
FUNZIONE
y=f(x)
! f (x)dx = F (x) + c
• è l’insieme delle PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che F’(x)=f(x)
• Operazione inversa della Derivata prima. Se derivo F(X) ottengo f(x)
• Le primitive sono infinite e differiscono per una costante c
Si calcola applicando le regole :
Integrali immediati
Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento]
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
1
FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzione y=f(x)
y=x2
Derivata
y=2x
f(x)
PRIMITIVA
La
funzione
F(X)
si
chiama
Primitiva
di
f(x)
se
la
sua
derivata
è
f(x)
:
D[F(X)]=f(x)
opp
F’(x)=f(x)
2
2
ESEMPI : x è
PRIMITIVA
di
2x
perchè
D[x ]=2x
senx
è
PRIMITIVA
di
cosx
perchè
D[senx]=cosx
Le
primitive
F(x)
di
una
funzione
f(x)
sono
infinite
se
F(x)
è
primitiva
di
f(x)
allora
lo
è
anche
F(x)
+
c
la
funzione
f(x)=2x
ha
infinite
primitive
F(x)=
x2+c
che formano una famiglia di infinite curve
2
INTEGRALE INDEFINITO
Sia
y=f(x)
funzione
continua
in
un
intervallo
I.
Si
chiama
INTEGRALE INDEFINITO di f(x)
l’insieme
delle sue Primitive
! f (x)dx = F (x) + c
Funz. integranda
Proprietà
di
linearità
Primitiva
" K ! f(x)!dx = K " f(x)!dx
1
‐
INTEGRALI
IMMEDIATI
! dx = x + c
1
! x dx = ln | x | +c
!e
x
dx = e + c
x
la Derivata della Primitiva = f(x)
D[F(x)]=f(x)
" (f(x)+ g(x))!dx = " f(x)!dx + " g(x)!dx
n+1
x
n
x
! dx = n + 1 + c
! cos x dx = senx + c
! senx dx = " cos x + c
1
"n
dx
=
x
! xn
! dx = ...
!
!
n
m
n
x m dx = ! x dx = ...
1
n
x
m
dx = ! x
"
m
n
dx = ...
3
VERIFICO: REGOLE INTEGRALI IMMEDIATI
Derivo la primitiva
D[x]=
1+0=1
! dx = ! 1idx = x + c la
Primitiva
di
1
è
x
La
primitiva
di
una
costante
D[kx]=
k*1+0=k
! kidx = ki ! dx = kx + c Isolata
k
è
=k*x
integrale di una potenza xn =
x elevato a (n+1) fratto (n+1)
n+1
x
" x ! dx = n + 1 + c
n
1
! x " dx = ln x + c =
3
x
2
x
" ! dx = 3 + c
#1 2 & 1
D % x ( = ! 2x1 = x
$2 ' 2
#1 3& 1
D % x ( = ! 3x 2 = x 2
$3 ' 3
4
x
3
x
" ! dx = 4 + c
#1 & 1
D % x 4 ( = ! 4x 3 = x 3
$4 ' 4
x2
" x ! dx = 2 + c
la
Primitiva
di
1/x
è
ln|x|
D[lnx]=1/x
x
x
e
"
dx
=
e
+c=
!
la
Primitiva
di
ex
è
ex
D[ex]=
ex
! cos x " dx = senx + c
la
Primitiva
di
cosx
è
senx
D[senx]=cosx
! senx " dx = # cos x + c la
Primitiva
di
senx
è
‐cosx D[‐cosx]=senx
4
PROPRIETA’ DI LINEARITA’: applicazione
! Ki f(x)dx = Ki! f(x)dx
esempio1
esempio2
L’INTEGRALE del prodotto di una costante K per una
funzione è = al prodotto di K per l’integrale della funzione
2
5ix
! dx =
!
3
dx =
x
Porto fuori 5
estraggo 3
" (f(x)+ g(x))!dx = " f(x)!dx + " g(x)!dx
esempio3
2
(x
" + x ! 2) dx =
3
"
% 5 3
x
2
= 5i ! x dx = 5i$ ' = x + c
# 3& 3
1
= 3i ! dx = 3iln | x | +c
x
L’INTEGRALE della somma di due o più
funzioni è = alla somma dei singoli integrali
Decompongo l’integrale nella
somma dei singoli integrali
3
2
x
x
Calcolo
= " x dx + " x dx ! " 2 dx =
=
+
! 2x + c
integrali
3
2
2
esempio4
!
Decompongo
(7 cos x + 5senx dx =ed estraggo =
7 ! cos x dx + 5 ! senx dx = 7senx " 5 cos x
Integrali
immediati
svolti
1)
5
3
(3x
!
4x
+ 6)dx =
"
calcolo
primitive
2)
Estraggo costanti moltiplicate
Decompongo
In somma
= " 3x 5 dx ! " 4x 3 dx + " 6dx = 3" x 5 dx ! 4 " x 3 dx + 6 " dx =
x6 x4
1 6 4
= 3 ! 4 + 6x == x ! x + 6x + c
6 4
2
Estraggo costanti moltiplicate
Decompongo
8
8
1
5
5
5
In somma
= " 2x dx ! " dx + " 7dx = 2 " x dx ! 8 " dx + 7 " dx =
" (2x ! x + 7)dx =
x
x
6
x
1 6
calcolo
! 8ln | x | +7x == x ! 8ln | x | +7x + c
primitive = 2
6
3
3)
" (2x ! 7x + 3)dx =
2
Calcolo subito
primitive
decomponendo
mentalmente
3
2
x x
2 3 7 2
= 2 ! 7 + 3x = x ! x + 3x + c
3 2
3 2
6
Integrali
immediati
svolti
4)
" (x ! 5) dx =
2
Svolgo
Quadrato
binomio
= " (x +10x + 25)dx =
2
Calcolo primitive
Decomponendo in
somma
x3
x2
= +10 + 25x + c
3
2
5)
x + 7x
" x dx =
3
2
Riscrivo come
somma di
singole
frazioni
Calcolo primitive
Decomponendo in
somma
# x 7x &
= " % + ( dx =
$x x '
3
2
Semplifico
frazioni
= " (x 2 + 7x)dx =
x3 x2
x3 7 2
= + 7 + c == + x + c
3
2
3 2
6)
" (cos x ! 6senx + 2)dx =
Calcolo subito
primitive
= senx ! 6cos x + 2x + c
7
Integrali
immediati
svolti
7)
!
2
dx =
7
x
porto la x dal denominatore al numeratore
con esponente negativo
"7 +1
"6
calcolo
x
x
2
1
2 x "7 dx = integrale = 2
=2
= " # x "6 = " 6 + c
!
8)
!
=
9)
!
3
!
"7 + 1
"6
6
2x
Trasformo la radice in potenza con esponente frazionario
x dx =
1
+1
3
calcolo
x
integrale
x dx =
= 1
1
3
3
+1
=
x
4
3
4
3
3 43 3 3 4
= x =
x +c
4
4
Trasformo la radice in potenza con esponente
dx =
3
frazionario portandola al numeratore
x
5
4
= 5! x
"
3
4
calcolo
x
dx = integrale = 5
3
" +1
4
3
" +1
4
=
x
1
4
1
4
4 14
= x = 44 x + c
1
8
FunzioneComposta*Derivata[argomento]
L’integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento]
è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna
g[
f
(x)]•
f
'(x)dx
=
G(
f
(x))
+
c
!
FunzComposta
g=funzEsterna
Derivata[funzInterna]
argomento
n+1
[ f (x)]
! [ f (x)] i f (x)dx = n +1 + c
n
re
le
o
g
'
PrimitivaFunzEsterna
f '(x)
! f (x) dx = ln | f (x) | +c
! cos f (x)i f (x)dx = senf (x) + c ! e
! senf (x)dxi f (x)dx = "cos f (x) + c
'
f (x)
i f (x)dx = e
'
f (x)
+c
'
9
Integrale
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
n+1
[
f
(
x
)]
n
[
f
(
x
)]
• f '( x) dx =
+c
!
n+ 1
1-Funzione
Esterna
POTENZA
D[FunzInterna] Primitiva FunzEsterna
argomento
3
(7x
+
1)
! 7 dx = funzInterna f=7x+1 calcolo f’=7*1+0=7 C’E’
1) "
f
f’
3
(7x
+
1)
! 7 dx =
"
2)
" (2x + 4) ! 2dx =
5
Primitiva
f.Esterna
Potenza
(7x + 1)4
=
+c
4
funzInterna f=2x+4 calcolo f’=2*1+0=2
C’E’
" (2x + 4) ! 2dx =
5
f
f’
Primitiva
f.Esterna
Potenza
(2x + 4)6
=
+c
6
10
Integrale
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
1-Funzione
Esterna
POTENZA
3)
5
(8x
+
3)
dx =
!
Se la derivata dell’argomento f’ non c’è nel testo
devo inserirla moltiplicando e dividendo per un
numero opportuno.
funzInterna f=8x+3 --> f ‘= 8*1+0=8 : NON C’E’
argomento
1
1
1 (8x + 3) (8x + 3)
5
5
= ! (8x + 3) " 8dx = ! (8x + 3) " 8dx =
=
+c
8
8
8 6
48
f’
6
6
divido e moltiplico per 8
4)
" (x +1) ! xdx =
2
3
funzInterna f
argomento
=x2+1
--> f
C’è x
Manca 2
‘= 2x
1 2 3
1 2 3
1 (x +1) (x +1)
= " (x +1) !2xdx == " (x +1) !2xdx ==
=
+c
f’
2
2
2 4
8
2
divido e moltiplico per 2
4
2
4
11
Integrale
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
2- Funzione esterna
1/f(x)
1)
#
=
#
1
" 8 dx =
8x ! 1
#
=
1
# 3x
2
Primitiva
funzEsterna
1/f(x)
f’
6x
" dx
2
3x + 1
+1
1/f
!
1
• f '(x)dx = ln | f (x) | +c
f (x)
DerivataFunzInterna PrimitivafunzEsterna
argomento
f =8x-1 --> f ‘= 8*1+0=8 : C’E’
8
" dx
8x ! 1
1/f
2)
!
f '(x)
dx =
f (x)
= ln | 8 x ! 1 | +c
f =3x2+1 --> f ‘= 3*2x+0=6x : C’E’
" 6 x dx =
f’
Primitiva
2
funzEsterna = ln | 3x + 1 | +c
1/f(x)
12
Integrali
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
2- Funzione esterna
1/f(x)
3)
!
f '(x)
dx =
f (x)
Negli esempi seguenti la derivata dell’argomento f’ non è presente nel
testo: devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
!
x
dx =
2
x +3
Divido e moltiplico per 2
=
f interna f=x2+3 --> f ‘= 2*x+0=2x : C’E’ la x
manca 2
1
2x
1
1
1
Primitiva
2
idx
=
"
i2x
dx
=
=
"
ln(x
+ 3) + c
2
2
!
!
funzEsterna
2 x +3
2 x + 3 f’
2
1/f
4)
!
1
• f '(x)dx = ln | f (x) | +c
f (x)
!
x2 + 1
dx
3
x + 3x
1/f(x)
f.interna =x3+3x --> f ‘= 3x2+3 =3(x2+1)
manca 3
Divido e moltiplico per 3
Primitiva 1
1 3(x 2 + 1)
1
1
2
= ! 3
idx = ! 3
i(3x + 3)dx = fEsterna = ln | x 3 + 3x | +c
3 x + 3x
3 x + 3x
3
1/f(x)
f’
1/f
13
Integrali
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
3-Funzione esterna
Esponenziale
i
p
m
ese
3x
3
!
e
dx =
"
e
i
f
'(x)dx
=
e
!
f (x)
f (x)
+c
DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna
argomento
f
f’
3x
3x
"e
! 3dx =
=e
+c
Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna ( in questo caso è l’esponente) f’
non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare/dividere per un numero opportuno
!x
e
# " dx =
Divido/moltiplico
per -1
f interna=esponente f=-x --> f ‘= -1 : NON C’E’
= ! # e! x " (!1) " dx = ! # e! x " (!1) " dx = !e! x + c
f’
2 --> f ‘= 2x : C’E’ la x
f
interna=esponente
f=x
# x " e " dx =
manca 2
x2
Divido/moltiplico
per 2
1
1
1 x2
x2
x2
= # e " 2x " dx = # e " 2x " dx = e + c
2
2
2
f’
14
Integrali
di
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
4-Funzione esterna
coseno
! cos f (x) • f '(x)dx = senf (x) + c
DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna
argomento
=
" 3cos(3x ! 4)dx = " cos(3x f! 4)i3dx
f’
f’=3 c’è
Calcolo integrale
Primitiva della
funzEsterna coseno
= sen(3x ! 4) + c
Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna f’ non è nel testo:
per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
" cos 4x # dx =
Molt/div
per 4
f’=4 non c’è
" cos(2x + 3) # dx =
f’=2 non c’è
1
1
1
= " cos 4xi4 dx = " cos 4xi4 dx = sen4x + c
4
4
4
f’
Molt/div
per 2
1
1
= " cos(2x + 3)i2 dx == sen(2x + 3) + c
2
2
15
f’
METODO DI SOSTITUZIONE
funzioni composte
g[
f
(x)]dx
!
g=funzioneEsterna
f= funzInterna o argomento
Pongo argomento=t cioè f(x)=t
--> ricavo x e calcolo differenziale dx. (*)
Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo.
Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t.
(*) DIFFERENZIALE dx è una operazione che si svolge:
calcolando la derivata prima e moltiplicando per dt
•Esempi: se x=3t+5 Differenziale : dx=(3*1+0)dt
dx=3dt
se x=t2-3 Differenziale : dx=(2t-0)dt
dx=2tdt
se x=5t2+7t Differenziale : dx=(10t+7)dt
16
1 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
Funzione esterna Potenza
" (5x + 2) ! dx =
4
Pongo f(x)=t 5x + 2 = t
1
2
5x = t ! 2 " x = t !
Ricavo x
5
5
1
$1
'
Calcolo
dx = & #1 + 0 ) dt " dx = dt
%5
(
Differenziale
5
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
! (t ) 5 dt =
4
1 t5
=
5 5
=
t5
25
(5 x + 2)5
=
+c
25
1
5
4
t
! dt =
Ottengo un integrale immediato
nella variabile t : lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
17
2 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
# cos(3x !1)"dx =
Funzione esterna Coseno
Pongo f(x)=t 3x ! 1 = t
1 1
3x = t + 1 " x = t +
3 3
Calcolo
1
$1
'
Differenziale dx = &% #1+ 0 )( dt " dx = dt
3
3
Ricavo x
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
! cos ti 3 dt =
1
cos t dt = Ottengo un integrale immediato
!
3
nella variabile t : lo calcolo
1
= sent =
RI-sostituisco f(x) al posto di t
3
1
= sen(3x " 1) + c
3
18
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
2
" 7x + 3 ! dx =
Funzione esterna 1/f(x)
Pongo f(x)=t 7x + 3 = t
1
3
7x = t ! 3 " x = t !
7 7
Calcolo
1
$1
'
Differenziale dx = &% #1+ 0 )( dt " dx = dt
7
7
Ricavo x
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
"
2 1
! dt =
t 7
2
7
1
" t dt =
Ottengo un integrale immediato1/t
nella variabile t : lo calcolo
2
= ln | t | = RI-sostituisco f(x) al posto di t
7
2
= ln | 7x # 3 | +c
7
19
4 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
# (2x ! 1) " x " dx =
3
Funzione esterna Potenza
2x ! 1 = t
f(x)=t
Ricavo x
t 1
1
1
2x = t + 1 " x = + " x = #t +
2 2
2
2
Differenziale " dx = $& #1+ 0') dt " dx = dt
%2
(
2
1
1
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
1 1
1 4 1 3 1
3
(t
)
!
(
t
+
)
!
dt
=
(
t + t ) ! dt =
"
"
2
2 2
2
2
2
# 1 4 1 3&
= " % t + t ( dt = integrale immediato in t: lo calcolo
$4
4 '
1 t5 1 t4
t5
t4
= i +
=
+
= RI-sostituisco f(x) al posto di t
4 5 4 4
20 16
(2x ) 1)5 (2x ) 1)4
=
+
+c
20
16
20
5 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
"
(9x + 7) ! dx =
f(x)=t
Funzione esterna Radice Quadrata
Conviene porre =t tutta la radice!
9x + 7 = t !
9x + 7 = t 2
t2 7
1 2 7
" x= t "
Ricavo x x =
9 9
9
9
$1
'
Differenziale dx = & # 2t " 0 ) # dt
%9
(
2
dx = t # dt
9
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
2
2
2
t
!
t
dt
=
t
dt = Ottengo un integrale immediato
" 9
"
9
nella variabile t : lo calcolo
2 t3
2t 3
= !
=
= RI-sostituisco f(x) al posto di t
9 3
27
2 (9 x + 7)3
2( 9 x + 7 )3
=
=
+c
27
27
21
Regola
di
integrazione
PER
PARTI
Si applica per calcolare l’integrale
del prodotto fra due funzioni
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo:
n x
x
! e dx
n
x
! " cos x " dx
n
x
! ln x " dx =
•Una funzione si chiama FattorFinito f(x) si deve derivare trovando f’(x)
•L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x)
ff
fd
f
(x)
!
g'(x)
!
dx
=
f
(x)
!
g(x)
#
f
'(x)
ig(x)dx
"
"
ff ・
INT(fd)
-∫D[ff]
・
INT(fd)
NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare
o
it
n
i
torF
t
a
F
x
ff fd
x
!e
!dx
=
x
!e
#
1!
e
idx
=
xe
#
e
+
c
"
"
x
x
ff ・
INT(fd)
x
-∫D[ff]
x
・
INT(fd)
x
23
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
i
p
m
ese
" f (x)! g'(x) ! dx= f (x)! g(x)# " f '(x) ! g(x)dx
ff
fd
ff ・
INT(fd)
-∫D[ff]
・
INT(fd)
" x !cosx !dx = xisenx # " 1! senx !dx = xisenx # (#cosx) = xisenx + cosx + c
ff
fd
Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito
1
" lnffx !dxfd = " ln x !1!dx = ln xix # " x ix !dx = xln x # " 1 !dx = xln x # x + c
x2 1 x2
x2
x2
x2
"fdxlnffx !dx = " ln x ! x !dx = ln xi 2 # " x i 2 !dx = 2 ln x # " xdx = 2 ln x # 2 + c
24
