Integrazione Indefinita e Teorema Fondamentale del Calcolo

Integrazione Indefinita e Teorema
Fondamentale del Calcolo
Matematica Generale
Problema della Ricerca di Primitive
Sia f :[a,b] ! !.
Ci si chiede se esiste una funzione F :[a,b] ! !
derivabile in (a,b) tale che
F '(x) = f (x) per ogni x "(a,b)
Oss:
stiamo cercando di invertire l'operazione di derivazione
f ! f'
Oss: l'operazione di derivazione non e` iniettiva:
se F e` una primitiva di f anche F + c e` una primitiva di f .
Dimostriamo che tutte le primitive sono di questo tipo.
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Matematica Generale
Teorema (caratterizzazione primitive)
siano F e G primitive di f , allora esiste una costante c tale che
F(x) = G(x) + c per ogni x
L'insieme delle primitive di una funzione f (se esistono)
si indica con
! f (x) dx
che si chiama anche "integrale indefinito" della funzione f .
Dunque l'operazione di integrazione indefinita e` l'operazione
di ricerca delle primitive di una funzione data.
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Matematica Generale
Il problema dell'integrazione indefinita (ricerca di primitive) e`
collegato al problema dell'integrazione definita (calcolo di un'area
curvilinea).
Newton per primo intui` la relazione esistente tra i due problemi
alla fine del 1600 (oss: la prima definizione rigorosa di integrale
definito e` dovuta a Cauchy nel 1823).
Vediamo ora quali sono le funzioni che ammettono
primitive e come questo risolva anche il problema della
integrazione definita.
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Matematica Generale
Funzione integrale
Si indica con I a ( x ) ed è definita come:
x
I a ( x ) = ! f (t )dt
a
Geometricamente:
y
I a (x)
a
x
descrive l’area variabile che è sottesa alla curva tra a e x
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Matematica Generale
Intuizione di Newton
I a (x + !x) " I a (x)
y
f (x)
a
x
x + !x
I a (x + !x) " I a (x) ! f (x) # !x
e quindi passando al limite per !x $ 0 :
I a '(x) ! f (x)
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Matematica Generale
Teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow)
Sia f : [a, b] ! ! continua e consideriamo la funzione integrale
I a : [a, b] ! ! definita da
x
I a (x) =
" f (t) dt
a
Allora I a e` derivabile in (a, b) e DI a (x) = f (x) per ogni x #(a, b).
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Matematica Generale
Osservazione:
questo prova che l’operazione di derivazione e l’operazione
di integrazione sono operazioni inverse.
Inoltre questo teorema afferma che ogni funzione continua
ammette primitiva, quindi risolve il problema della ricerca
delle primitive almeno per funzioni continue.
Una volta trovata una primitiva (rappresentata dalla funzione
integrale) tutte le altre primitive differiscono da questa per una
costante.
Vediamo come il teorema risolve anche il problema del calcolo
dell’integrale definito:
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Matematica Generale
Corollario del Teor. Fondamentale del Calcolo
(Calcolo di Integrali Definiti)
se f :[a,b] ! ! e` continua, allora, preso x "(a,b),
b
x
b
a
b
a
a
x
x
x
# f (t) dt = # f (t) dt + # f (t) dt = $ # f (t) dt + # f (t) dt =
= I x (b) $ I x (a)
Di conseguenza trovata una qualsiasi primitiva di f , conosciamo
anche l'integrale definito di f .
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Matematica Generale
Osservazioni
• Il Teorema Fondamentale del Calcolo fornisce una condizione sufficiente (la
continuita`) ma non necessaria. Anche funzioni discontinue potrebbero avere
una primitiva.
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Matematica Generale
Integrali definiti
• “Passi” per la risoluzione di un integrale definito del tipo
b
! f (x)dx
a
5
2
x
! dx
0
Determinare una funzione primitiva qualsiasi associata alla
indicheremo
F
(
x
f
(
x
)
,
che
)
• Esempio:
Se
f ( x) = x 2 una primitiva è
x3
F ( x) =
3
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Matematica Generale
Integrali definiti

Calcolare il valore della
superiore di integrazione:
F
(
F
x
in b ovvero l’estremo
)
(
b
)
• Esempio
x3
F(x) =
3
b=5
53 125
F(b) = F(5) = =
3
3
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Matematica Generale
Integrali definiti

Calcolare
F
(
a
)
• Esempio:
x3
F ( x) =
3
a=0
03
! F (a ) = F (0) = = 0
3
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Matematica Generale
Integrali definiti


Calcolare
b
" f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) ! F (a)
b
a
• Esempio
125
125
"0=
! x dx =
3
3
0
5
2
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