Le formule di Newton

Le formule di Newton
Molte sono le formule che vanno sotto il nome di “Formula di Newton”. In primo lugo quella che esprime, in
algebra e nel calcolo combinatorio, il binomio di Newton.
In analisi spesso si richiama così la formula di Newton-Leibniz (più correttamente indicata con i nomi di
entrambi). Tale formula esprime il legame tra le nozioni di integrale definito e di integrale indefinito,
riducendo in molti casi il calcolo del primo all’individuazione di una primitiva della funzione integranda.
Essa, infatti, per una funzione continua F in un intervallo [a, b] esprime la relazione
b
 f ( x)dx
= F(b) – F(a),
a
ove F(x) è una generica primitiva di f(x).
Sempre però con il nome di formula di Newton-Leibniz è riportata a volte anche la formula che esprime la
derivata Dn del prodotto di due funzioni f(x) e g(x) (riferita però più spesso come regola di Leibniz):
n
 n  ( nk )
  f
( x) g ( k ) ( x )
Dn [f(x) g(x)] =
k
k 0  

In analisi numerica la locuzione si utilizza per indicare particolari metodi di integrazione numerica. Con le
formule di Newton-Cotes per il calcolo approssimato dell’integrale definito di una funzione reale di
variabile reale f(x), si calcola l’integrale mediante una combinazione lineare del tipo
In+1 = a0f(x0) + ... + anf(xn)
in cui i punti xi tali che a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b sono detti nodi e sono equidistanti, essendo
xj = x0 + jh, con j = 0, ..., n, e h costante.