INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

INTEGRALE
INDEFINITO
DI
UNA
FUNZIONE
y=f(x)
! f (x)dx = F (x) + c
• è l’insieme di tutte le PRIMITIVE F(x) della funzione f(x) tale che
F’(x) = f(x)
• E’ operazione inversa della Derivata prima
• Le primitive F(X) differiscono per una costante c
• Si calcola applicando le regole :
Integrali immediati
Integrali di FunzioneComposta*Derivata(contenuto)
Integrali di funzioni composte con metodo di sostituzione
Regola per Parti
1
FUNZIONE F(x) PRIMITIVA di una funzione
y=f(x)
f(x)
y=2x
Primitiva
Derivata
y=x2
Data una funzione y=f(x) continua in [a, b] si chiama Primitiva
F(x) la funzione tale che la sua derivata sia uguale a f(x):
F(x) e’ primitiva di f(x) sse F’(x) = f(x)
NB:
se
F(x)
è
una
primitiva
di
f(x)
allora
lo
è
anche

F(x)
+
c
ad
esempio
la
funzione
f(x)=2x
ha
infinite
primitive

F(x)=
x2
+c
una funzione ammette infinite primitive che
differiscono per una costante reale e
costituiscono una famiglia di infinite curve
2
INTEGRALE INDEFINITO
Si
chiama
INTEGRALE
INDEFINITO
di
una
funzione
y
=
f(x)
continua
l’insieme
di
tutte
le
sue
primitive
e
si
indica
:
! f (x)dx = F (x) + c
Funz. integranda
Proprietà
di
linearità
F’(x)=f(x)
derivando la Primitiva
ottengo f(x)
Primitiva
" K ! f (x)! dx= K " f( x)! dx
" ( f( x) + g( x))! dx= " f( x)! dx+ " g(x)! dx
1
‐
INTEGRALI
IMMEDIATI
! dx = x + c
1
! x dx = ln | x | + c
x
x
e
dx
=
e
+c
!
n+1
x
! x dx = n + 1 + c
1
"n
dx
=
x
! xn
! dx = ...
! cos xdx = senx + c
!
n
! senxdx = " cos x + c
!
n
x m dx=
1
n
m
x
!x
m
n
dx = ! x
"
dx = ...
m
n
dx= ...
3
Esercizi
1a
‐
Integrali
immediati
svolti
3
3
x
8
x
8 3
2
! (8 x + 5) dx = 8 3 + 5 x = 3 + 5 x + c = 3 x + 5 x + c
8
x2
3 2
! (3 x + x) dx = 3 2 + 8 ln | x |= 2 x + 8 ln | x | + c
6
1
x
7 6
5
! (7 x " x + 4 )dx = 7 6 " ln | x | +4 x = 6 x " ln | x | +4 x + c
x
x
(4
cos
x
+
senx
+
5
e
)
dx
=
4
senx
"
cos
x
+
5
e
+c
!
3
2
3
x
x
5
x
2
2
2
5(
x
+
1)
dx
=
5
(
x
+
2
x
+
1)
dx
=
5(
+
2
+
x
)
=
+
5
x
+ 5 x+ c
!
!
3
2
3
1
x"5+1 x"4
1 "4
1 1
1
"5
! x5 dx = ! x dx = "5 + 1 = "4 = " 4 x = " 4 x4 = " 4 x4 + c
"3+1
"2
6
x
x
6 "2
1
3
"3
! x3 dx = 6 ! x dx = 6 "3 + 1 = 6 "2 = " 2 x = "3 x2 = " x2 + c
4
Esercizi
1b
‐
Integrali
immediati
svolti
"4 +1
"3
"3
3
x
x
x
1
"4
"4
dx
=
3
x
dx
=
3
x
dx
3
=
3
=
"
=
"
+c
! x4
!
!
3
"4 + 1
"3
1
x
5
x "2+1
x" 1
x"1
5
"2
"2
! x2 dx = ! 5 x dx = 5 ! x dx5 "2 +1 = 5 "1 = "5 1 = " x + c
!4
!
x dx = 4 ! x dx = 4
2
5
x
1
2
x 2 dx = ! x 5 dx =
x
5
+1
=
2
3
! 6 x dx = 6 ! x dx = 6
3
!
2
5
"
3
1
3
x
5
dx = ! x dx =
x3
7
x
" +1
3
=
3
2
3
2
2 32 8 2 3
8
= 4! x =
x +c=
x3 + c
3
3
3
5 75 5
= x =
7
7
5
x7 + c
5
+1
2
+1
3
5
" +1
3
5
x
7
5
5
2
x
=4
1
+1
2
2
+1
5
2
1
+1
2
=6
x
"
"
2
3
2
3
x3
5
3
3 53 18
= 6! x =
5
5
="
3
2
"
2
x ="
3
3 1
2
2
x
3
3
x5 + c
="
3 1
2
3
x
2
="
3
2 x
3
2
+c
5
2 - Integrali immediati di FUNZIONI COMPOSTE * derivataFunzInterna
Poiche
la
derivata
di
una
funzione
composta
si
ottiene
:
derivando
la
funzione
esterna
e
moltiplicando
per
la
derivata
della
funzione
interna
Integrando
(
in
senso
contrario
)
ottengo:
! g[ f (x)]• f '(x)dx = G( f (x)) + c
FunzioneComposta
DerivataFunzInterna
PrimitivaFunzEsterna
l’integrale di : FunzioneComposta*Derivata funzioneInterna si può calcolare
immediatamente trovando la Primitiva della FunzioneEsterna
reg
n+1
[
f
(x)]
n '
[ f (x)] i f (x)dx =
+c
!
n +1
ole
f '(x)
! f (x) dx = ln | f (x) | +c
! cos f (x)i f (x)dx = senf (x) + c ! e
! senf (x)dxi f (x)dx = "cos f (x) + c
'
f (x)dx = e
f (x) '
f (x)
+c
'
6
Esercizi
2a
‐
Integrali
immediati
di
“FunzioneComposta*DerivataFunzInterna”
Funzione esterna
potenza
n+1
[
f
(
x
)]
n
! [ f (x)] • f '( x) dx = n + 1 + c
FunzioneComposta derivataFunzInterna Primitiva FunzEsterna
i
p
m
ese
4
(7
x
+
1)
3
3
(7
x
+
1)
!
7
dx
=
(
7
x
+
1)
"
" f ! 7f’ dx= 4 + c
FunzComposta
D[contenuto]
PrimitivaFunzEsterna
6
(2
x
+
4)
5
(2
x
+
4)
" f ! 2 dx=f’ 6 + c
Nell’ esempio seguente la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerla
devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
2
4
2
4
1
1
(
x
+
1)
(
x
+
1)
2
3
2
3
(
x
+
1)
!
xdx
=
(
x
+
1)
! 2 xdx =
=
+c
"
"
2
2
4
8
f
f’
7
Esercizi
2b
‐
Integrali
immediati
di
“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
Funzione
esterna
1/f(x)
!
f '(x)
1
dx = !
• f '(x)dx = ln | f (x) | +c
f (x)
f (x)
FunzioneComposta
o
i
p
em
es
derivataContenuto
Primitiva funzEsterna
8
1
# 8x !1 "dx = # 8x !1 "8dx = ln | 8x !1| +c
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerla
devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
i
p
m
ese
x
1 2x
1 1
1 2
# x2 + 3 dx = 2 # x2 + 3idx = 2 # x2 + 3i2xdx = 2 ln(x + 3) + c
2
2
2
x +1
1 3(x +1)
1 (3x + 3)
1 3
# x 3 + 3x dx = 3 # x 3 + 3x idx = 3 # x 3 + 3x idx = 3 ln | x + 3x | +c
8
Esercizi
2c
‐
Integrali
immediati
di
“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
!e
Funzione esterna
esponenziale
FunzioneComposta
p
m
e
s
e
i
f ( x)
'’
,
f ( x) dx = e
f (x)
+c
derivataFunzInterna Primitiva della F.esterna
1 2x
1 2x
" e ! dx = 2 " e ! 2 ! dx = 2 e + c
2x
e
!
dx
=
#
e
!
(#1)
!
dx
=
#e
+
c
"
"
#x
#x
#x
1 x2
1 x2
" x ! e ! dx = 2 " e ! 2x ! dx = 2 e + c
1 #2 x
1 #2 x
#2 x
" e dx = # 2 " e ! (#2)dx = 2 e + c
x2
9
Esercizi
2d
‐
Integrali
immediati
di
“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
Funzione esterna
coseno
! cos f (x)• f '( x) dx= senf( x) + c
FunzioneComposta
i
p
m
e
s
e
derivataFunzIntena
Primitiva della Festerna
" cos(3x ! 4)i3dx = sen(3x ! 4) + c
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già presente nel testo: per ottenerla
devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
i
p
m
ese
1
1
cos
4x
dx
=
cos
4xi4
dx
=
sen4x
+
c
"
"
4
4
1
1
" cos2x # dx = 2 " cos2xi2 dx = 2 sen2x + c
10
Esercizi
2e
‐
Integrali
immediati
di
“FunzioneComposta*DerivataContenuto”
9
(3
x
!
1)
8
(3
x
!
1)
" 3 dx=
+c
#
9
# cos 5 x " 5 dx = sen5 x + c
1
# 4 x + 7 " 4 dx= ln | 4 x + 7 | + c
3x
3x
e
"
3
dx
=
e
+c
#
Negli esempi seguenti la derivata f’ non è già nel testo ma basta moltiplicare e dividere
per un numero opportuno per ottenerla
1
1 (4 x + 2) (4 x + 2)
5
" (4 x + 2) ! dx = 4 " (4 x + 2) !4 dx = 4 6 = 24 + c
1 5x
1 5x
5x
" e ! dx = 5 " e !5! dx = 5 e + c
1
1 1
1
" 5 x # 1 ! dx = 5 " 5 x # 1 !5 dx = 5 ln | 5 x # 1| + c
1
1
" sen7 x ! dx = 7 " sen7 x! 7 dx = # 7 cos 7 x + c
6
6
5
11
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
•
•
•
•
•
Si pone la funzione interna (il “contenuto”) uguale a t : f(x) = t
si ricava la x e si calcola il differenziale .
Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile
Risolvo l’integrale nella variabile t
Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x
es
o1
i
p
em
3
(2x
!
1)
" x " dx =
#
1
t 1
pongo 2x ! 1 = t $ x = + $ differenziale dx = dt
2
2 2
t 1
3 1
sostituisco # (t) " ( + ) " dt =
2 2 2
t3 t4
# 4 + 4 dt = calcolo l 'int egrale
t4 t5
= + = ri _ sostituisco al _ posto _ di t la _ x
16 20
(2x ! 1)5 (2x ! 1)5
=
+
+c
16
20
12
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
•
•
•
•
Pongo f(x)=t
si ricava la x e si calcola il differenziale .
Si sostituisce NEL TESTO e si ha un integrale nella variabile
Risolvo l’integrale nella variabile t
Infine si ri-sostituisce in modo da “riportarlo” alla variabile x
m
e
s
e
2 Nel caso di radice conviene porre uguale a t tutta la radice
o
i
p
"
(9x + 7) ! dx =
pongo
sostituisco
2
2t
t
7
2
! dt
9x + 7 = t # 9x + 7 = t # x = $
# diff dx =
9
9 9
2 2
2t
" t ! 9 dt = 9 " t dt =
calcolo _ l 'int egrale
2 t 3 2t 3
= ! =
= ri $ sostituisco al _ posto _ di _ t
9 3 27
la _ x
2( 9x + 7 )3 2 (9x + 7)3
=
=
+c
27
27
13
4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo:
n x
x
! e dx
n
x
! " cos x " dx
n
x
! ln x " dx =
•Una funzione si chiama FattorFinito f(x)  si deve derivare trovando f’(x)
•L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx si deve integrare: trovo primitiva g(x)
ff
fd
f
(x)
!
g'(x)
!
dx
=
f
(x)
!
g(x)
#
f
'(x)
ig(x)dx
"
"
ff ・
INT(fd)
-∫D[ff]
・
INT(fd)
NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare
o
nit
i
F
tor
t
a
F
x
ff fd
x
!e
!dx
=
x
!e
#
1!
e
idx
=
xe
#
e
+
c
"
"
x
x
ff ・
INT(fd)
x
-∫D[ff]
x
・
INT(fd)
x
14
4 - REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
" f (x)! g'(x) ! dx= f (x)! g(x)# " f '(x) ! g(x)dx
ff
fd
ff ・
i
p
m
ese
INT(fd)
-∫D[ff]
・
INT(fd)
" x !cosx !dx = xisenx # " 1! senx !dx = xisenx # (#cosx) = xisenx + cosx + c
ff
fd
Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito
1
" ln x !dx = " ln x !1!dx = ln xix # " x ix !dx = xln x # " 1 !dx = xln x # x + c
ff
fd
2
2
2
2
2
x 1x
x
x
x
fd
ffx !dx = ln x ! x !dx = ln xi
xln
# " i !dx = ln x # " xdx = ln x # + c
"
"
2 x 2
2
2
2 15