Integrazione "per parti"

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Primitive per le funzioni reali
Integrazione "per parti"
Esercizi proposti
Una semplice rilettura della regola di derivazione del prodotto di due funzioni fornisce
subito la seguente regola, detta di integrazione per parti:
Siano date due funzioni f e g, e sia F una qualunque primitiva di f. Si ha allora:
.
La formula si può leggere nel seguente modo: dato il prodotto di due funzioni f e g, e data
una primitiva F della prima funzione, una primitiva del prodotto si trova facendo il
prodotto della primitiva F della prima funzione per la seconda (fin qui in modo simile
alla derivata di un prodotto), meno una primitiva del prodotto tra la primitiva F della
prima e la derivata della seconda (e questa seconda parte è completamente diversa dalla
regola sulla derivata di un prodotto).
Ci sono altri modi per scrivere, e leggere, questa formula: noi preferiamo quello indicato
perché, vista la somiglianza con la regola della derivata di un prodotto, è forse il più
semplice da memorizzare.
Osservazioni ed esempi importanti


La formula indicata non risolve il problema del calcolo delle primitive di un
prodotto: sposta solo il problema dal prodotto fg al prodotto Fg'. Il suo uso sarà
conveniente solo se la ricerca delle primitive di Fg' è più semplice che non quella
delle
primitive
di
fg.
Esempio.
.
Anche se il prodotto fg è uguale al prodotto gf, la formula non è simmetrica
rispetto alle due funzioni f e g: scambiando l'ordine tra le due funzioni si è
ricondotti alla ricerca di primitive diverse, Fg' oppure Gf' (con ovvio significato
dei simboli), e può benissimo succedere che una delle due ricerche sia facile,
mentre
l'altra
no.
Esempio.
di
partenza.
e quest'ultimo integrale è più difficile di quello
Cambiando
l'ordine
si
ottiene
invece:

A volte la formula si applica anche in presenza di una sola funzione, osservando
che
f
=
1·f.

Esempio.
.
Naturalmente non è escluso che la formula debba essere applicata di nuovo per
calcolare
la
primitiva
residua
di
Fg'.

Esempio.
(attenzione ai segni!!).
La maggiore difficoltà nell'uso della formula è comunque legata al fatto che non è
detto che essa debba essere sempre applicata nel caso di un prodotto di due
funzioni.
Esempio. Per calcolare

si deve utilizzare la formula per parti, mentre
, utilizzando la regola sulle funzioni composte.
Una particolare tecnica si usa quando, applicando ripetutamente la formula per
parti,
si
ritorna
al
punto
iniziale.
Esempio.
.

Da
qui
si
trova
subito
.
Si osservi che se, dopo ripetute applicazioni della formula per parti, si ottenesse
, si dovrebbe concludere che h è una funzione costante, non
necessariamente nulla. Per esempio la scrittura
legittima.
è perfettamente
Altri esempi



.
.
.
Primitive per le funzioni reali
pagina pubblicata il 07/01/2003 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003