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INTEGRALI
INTRODUZIONE E PRIMI ESEMPI
Grafico di y  f  x  nel piano cartesiano in un intervallo  a, b sulla parte positiva dell’asse x:
interpretazione geometrica: l’integrale definito di y  f  x  sull’intervallo  a, b cioè
b
 f  x  dx
è l’area
a
(con segno) della regione di piano compresa fra il grafico di y  f  x  , l’asse
x e le rette verticali x  a ed x  b
n. b. l’area sarebbe negativa se il grafico di y  f  x  non si trovasse nel 1° quadrante ma nel 4°
a, b si chiama “intervallo di integrazione”
f  x  si dice “funzione integranda”
dx indica che si intende integrare rispetto alla variabile x
Grafico di y  k nel piano cartesiano ( k  0 ) con intervallo  a, b sulla parte positiva dell’asse x:
calcolo dell’integrale di una funzione costante: data la funzione f  x   k , con k costante reale, allora
l’integrale della funzione f  x  sull’intervallo  a, b è
b
 f  x  dx   b  a   k  base  altezza , cioè l’area
a
(con segno) del rettangolino sotteso alla retta y  k
Facendo riferimento al grafico iniziale:
il calcolo dell’integrale di una funzione non costante è meno banale perché la regione di cui calcolare l’area
non è un rettangolo ma un trapezoide, cioè una figura che assomiglia ad un trapezio rettangolo ma ha il
lato obliquo formato da un arco; per risolvere questo problema, si approssima il grafico della funzione con
quello di una “funzione a scala” formata da una serie di “rettangolini” di cui sarà semplice calcolare l’area:
se questo è possibile, allora si dice che la funzione f  x  è integrabile nell’intervallo  a, b .
~1~
b
procedimento per calcolare
 f  x  dx :
a
 trovare una funzione F  x  che, nell’intervallo  a, b , abbia f  x  come derivata cioè una “primitiva”
di f  x 
 calcolare il valore di F  x  negli estremi dell’intervallo di integrazione, cioè calcolare F  b  e F  a 
b
 sottrarre questi 2 valori, quindi
 f  x  dx   F  x 
b
a
 F b   F  a 
a
5

5
esempio: 3x 2 dx   x3   53  23  125  8  117
2
2
in questo caso una “primitiva” di 3x 2 , cioè una funzione che derivata diventa 3x 2 , è x 3
n. b. il passaggio più impegnativo del procedimento per calcolare un integrale è il 1°, cioè trovare una
funzione “primitiva”, perché gli altri 2 sono molto semplici
PRIMITIVE ELEMENTARI E PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI
definizione: si dice che F  x  è una “primitiva” di f  x  se F '  x   f  x  in tutto l’intervallo  a, b
osservazioni:
 non tutte le funzioni f  x  hanno una primitiva, ma ce l’hanno sempre per le funzioni continue
 la primitiva non è unica, infatti se F  x  è una primitiva allora lo sono anche F  x   c ( c = n° reale
costante) – sono primitive di 3x 2 non solo x 3 ma anche x 3  1 , x3  2 , x3  3 , ... e per indicare una
generica primitiva di f  x  si usa la notazione
 f  x  dx detta anche integrale indefinito di f  x 
le primitive di alcune funzioni si possono determinare facilmente utilizzando la nota tabella delle derivate:
primitive elementari
funzione f  x 
primitiva F  x 
x n (n  1)
x n 1
n 1
2 x
1
x
1
x2
ex
1
x

1
x
ex
ln x
2
 x 4  16 1 15
 
esempio:  x dx    
4
4
4 4


1
1
2
3
x4
x4
 1 invece di
il risultato sarebbe stato identico prendendo come primitiva
perché la
4
4
costante 1, nei calcoli successivi, sarebbe prima stata aggiunta e poi sottratta.
proprietà elementari degli integrali
a)
b)
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
 K  f  x  dx  K   f  x  dx
esempio:   3x  e x  dx   3xdx   e x dx  3
x2
 e x (sono state applicate prima la proprietà a, poi la b)
2
~2~
b
c)

a
c
b
a
c
f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx con a  c  b (facile comprenderla con l’interpretazione grafica)
PRIMITIVE DI DERIVATE DI FUNZIONI COMPOSTE
ricordando la regola di derivazione delle funzioni composte
 f  g  x  '  f '  g  x   g '  x 
è possibile
calcolare alcuni integrali apparentemente complessi:
esempio:
 2e
2x
dx  e 2 x (perché la derivata della funzione composta e 2 x è 2e 2 x )
2x
1
dx  ln  x 2  1 (perché la derivata della funzione composta ln  x 2  1 è 2
 2x )
1
x 1
1
2
1
1
esempio:  
(perché la derivata della funzione composta
è
dx 
2 )
2
2
2x  3
2x  3
 2 x  3
 2 x  3
esempio:
x
2
purtroppo non tutti gli integrali sono facilmente risolvibili con questo procedimento, perciò esistono altre
tecniche come quella per parti o per sostituzione; con quest’ultimo metodo possono essere risolti anche gli
ultimi esempi riportati.
INTEGRAZIONE PER PARTI
regola di integrazione per parti:
 f  x   g '  x  dx  f  x   g  x    f '  x   g  x  dx
n. b. conviene scegliere come funzione f quella più semplice da derivare e come funzione g ' quella più
facile da integrare
esempio:
 xe dx  xe   1 e dx  xe
x
x
x
x
 ex
in questo caso f  x e g '  e x quindi f '  1 e g  e x (è stato scelto f  x e non f  e x
perché x ha una derivata più semplice di e x , cioè 1; inoltre e x è facile da integrare)
esempio:
x2
x2 1
x2
1
x2
1
ln x    dx  ln x   xdx  ln x  x 2
2
2 x
2
2
2
4
2
x
1
in questo caso f  ln x e g '  x quindi f '  e g 
(è stato scelto g '  x e non
x
2
g '  ln x perché ln x non è facile da integrare)
 x ln xdx 
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
regola di integrazione per sostituzione (integrale indefinito): si usa in caso di funzioni composte f  g  x  
 indicare con y la funzione “più interna” della funzione composta, cioè g  x 
 effettuare le opportune sostituzioni senza dimenticare dx
esempio:
e
2 x 1
dx  si pone 2 x  1  y da cui 2dx  dy  dx 
1
dy
2
si sostituisce ottenendo:
1
1
1
1
dx   e y  dy   e y dy  e y  e 2 x 1
2
2
2
2
1
1
dx 
esempio: 
si pone 5 x  3  y da cui 5dx  dy  dx  dy
2
5
 5 x  3
e
2 x 1
1
  5 x  3
2
dx  
si sostituisce:
1 1
1 1 
1
 dy      
2
y 5
5 y 
5  5 x  3
n. b. in caso di integrali definiti, è necessario sostituire anche gli estremi dell’intervallo di integrazione a e b
come già mostrato nell’esempio di pagina 2
~3~