Schede di Analisi Matematica 1 16 Esercitazione 25/11/2015

Schede di Analisi Matematica 1
Fulvio Di Sciullo
Anno accademico 2015/2016 | Politecnico di Torino | Corso A5
Sommario
Queste schede raccolgono la traccia seguita durante l'esercitazione, i testi degli esercizi svolti in aula
ed ulteriori altri esercizi utili per l'esercitazione autonoma.
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Esercitazione 25/11/2015
Primitive
Richiami sulle primitive, denizione, prime proprietà, integrazione per parti, integrazione per
sostituzione.
Esercizio 16.1
(MS, Esercizio 4.3). Consideriamo la funzione f (x ) =
(x + 1)2
per x > 0.
x
(a) Si calcoli la derivata f 0 (x ) e si calcoli una primitiva g (x ) di f (x );
(b) Si discuta se, e per quale motivo, f (x ) è dierente dalla funzione g (x ).
√
Esercizio 16.2.
È data la funzione f (x ) = 4 − x 2 .
x√
x
(a) Provare che la funzione F (x ) =
4 − x 2 + 2 arcsin è una primitiva di f (x ) sull'in2
2
tervallo (−2, 2).
x√
x
π
4 − x 2 + 2 arcsin −
è una primitiva di f (x )
2
2
3
√ !
3
sull'intervallo (−2, 2) che passa per P = 1,
.
2
(b) Provare che la funzione G (x ) =
1
Provare che le funzioni F (x ) = sin2 x + 7 e G (x ) = − cos(2x ) − 11 sono
2
due primitive di una stessa funzione f (x ) su R; trovare f (x ) e discutere la relazione tra F (x )
e G (x ).
Esercizio 16.3.
2
16
Esercizio 16.4.
Si determinino le seguenti primitive (casi elementari e generalizzati).
x 3 − 6x 2 + 7 x + 4
(a)
dx
x
Z
1
√
dx
(b)
x +1
Z
(c) tan(x ) dx
Z
1
(d)
dx
x log(x )
Z
cos(x ) + 2x
(e)
dx
sin x + x 2 − π
Z
1
p
(f)
dx
x 1 − log2 x
Z
Quiz 16.5
A)
B)
C)
D)
Esercitazione 25/11/2015
Z
1
dx , a > 0
− x2
Z
1
√
(h)
dx , a > 0
2
a + x2
Z
1
(i)
dx , a > 0
2
a + x2
Z
(j) sin5 x · cos x dx
Z
1
(k)
dx
sin(2x )
Z
3 ex
(l)
dx
1 + e2x
(g)
√
a2
(RR, Quiz 9, Capitolo 5). Siano f (x ) = sin2 x e g (x ) = −
g (x ) è una primitiva di f (x )
cos(2x )
, allora:
2
f (x ) è una primitiva di g (x )
f (x ) e g (x ) sono due primitive di una stessa funzione
R
[f (x ) − g (x )] dx = c , con c costante reale
Esercizio 16.6.
(a)
Z
(b)
Z
(c)
Z
(d)
Z
Si determinino le seguenti primitive (integrazione per parti).
(e)
Z
x · sin x dx
log(1 + x ) dx
(f)
Z p
(g)
Z p
(h)
Z
2
x · log (5x ) dx
2
(x + 1) · cos(x ) dx
arctan x dx
1 − x 2 dx
x 2 + a 2 dx , a > 0
e2x · sin x dx
Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati:
(RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013.
(Q) G. G. Quelali, Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014.
(MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.