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La trigonometria è la parte della matematica che studia le funzioni circolari. Data una
circonferenza di raggio unitario con il centro nell'origine e assumendo il senso antiorario come
positivo, il punto P mobile sulla circonferenza individua un arco e un angolo corrispondente.
Il seno (sin) e il coseno (cos) dell'angolo θ sono due
funzioni periodiche di periodo 2 definite come l'ordinata
e l'ascissa del punto P. La tangente (tan) è definita
come il rapporto sin θ / cos θ, ed è una funzione
periodica di periodo . Le altre funzioni trigonometriche
sono la secante (sec θ = 1/cos θ) la cosecante (cosec
θ = 1/sin θ) e la cotangente (cotan θ = 1/tan θ).
La relazione trigonometrica fondamentale è:
dalla quale derivano le seguenti relazioni
trigonometriche:
sin² θ = tan² θ / ( cos² θ = 1 / ( 1 tan² θ = sin² θ / (
1 + tan² θ )
+ tan² θ )
1 - sin² θ )
sin² θ = 1 - cos²
θ
cos² θ = 1 sin² θ
tan² θ = ( 1 cos² θ ) / cos² θ
Valgono le seguenti relazioni:
sin (π/2 - α) = cos α
cos (π/2 - α) = sin α
sin (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = - sin α
sin (π - α) = sin α
cos (π - α) = - cos α
sin (π + α) = - sin α
cos (π + α) = - cos α
Alcune formule notevoli:
formule di addizione:
sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α
cos (α+ β) = cos α cos β - sin α sin β
tan (α+ β) = tan α tan β / ( 1 - tan α tan β )
formule di duplicazione: sin (2α) = 2 sin α cos α
cos (2α) = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1
tan (2α) = tan² α / ( 1 - tan² α )
formule di prostaferesi: sin α + sin β = 2 sin [(α+β)/2] cos [(α-β)/2]
sin α - sin β = 2 sin [(α-β)/2] cos [(α+β)/2]
cos α + cos β = 2 cos [(α+β)/2] cos [(α-β)/2]
cos α - cos β = -2 sin [(α+β)/2] sin [(α-β)/2]
formule di bisezione:
sin² (α/2) = (1 - cos α)/2
cos² (α/2) = (1 + cos α)/2
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo
Dato un triangolo qualunque di lati a,b,c e angoli opposti
corrispondenti α, β,γ valgono le seguenti formule:
teorema dei seni:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
teorema di Carnot: a² = b² + c² - 2 b c cos α
Dato un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:
b = h sin β
b = h cos γ
b = c tan β