α α =

Problema n. 32
Determinare le misure dei lati e le ampiezze degli angoli di un triangolo rettangolo sapendo che un cateto
è 1/4 dell’altro e la loro somma è 30 cm.
Soluzione
1

4 x  y
 y  24
1
x  y
Dalla figura abbiamo che 
e l’angolo è tg 
4


4
 x  4 x  30  x  6

 x  y  30
Problema pag 188 n. 33
Un triangoli isoscele è inscritto in una circonferenza di raggio r. Si sa che la distanza del centro dalla base è
r/3. Determinare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli del triangolo, nel caso in cui è acutangolo e
nel caso in cui è ottusangolo.
Nel caso acutangolo abbiamo dalla figura, applicando pitagora ad ADF
abbiamo che
FD  r 2 
r2
8r 2 2 2


r da cui
9
9
3
CD  r 2 
r2
8r 2 4 2
r 4


r Dato che EF  r   r
3 3
9
9
3
ED 
16r 2 8r 2
24r 2 2 6



r
9
9
9
3
2 2
r
1
2
FD
1
sin   1  
cos ECD  cos  
 3

ED 2 6
3
3
3
r
3
cos CED  cos(180  2 )   cos(2 )   cos 2   sin 2  
Problema pag 188 n. 35
In un triangolo isoscele il lato obliquo misura 2a e l’angolo alla base ha coseno uguale a
misure delle tre altezze.
AB=AC=2a
cos   cos ABC 
AD  AB sin   2a
1
5
sin   1 
2
4a

5
5
CB  2 DB  AB cos   2a
CE  CB sin  
1
2a

5
5
2a 2
4a

5 5 5
Problema pag. 188 n. 37
1
4
2


5
5
5
. Trovare le
In un triangolo due lati AB e BC misurano rispettivamente 2a e 3a ed è cos(ABC)=1/5. Detta H la proezione
di C sulla retta AB, calcolare il perimetro di AHC.
1
24 2 6
1
sin   1 


5
25
25
5
6
CH  CB sin(180   )  6a
5
3
HB  CB cos(180   )  CB cos   a
5
3
13
AH  HB  AB  2a  a  a
5
5
cos   
AC  AH 2  CH 2 
P  AC  AH  CH 
169 2 216 2
385
a 
a 
a
25
25
5
6 6
13
385
a a
a
5
5
5
N. 38 pag. 189
Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O e raggio r si traccino le due tangenti alla
circonferenza stessa e siano, A e B i suoi punti di contatto. Sapendo che cos(APB)=4/5, determinare le
lunghezze dei segmenti di tangenza PA e PB e la distanza di P dal centro O.
cos 2 
4
5
cos  
1  cos 2
sin  

2
AO  AP tan 
Problema n.42
1  cos 2

2
1
2
4
5 
AP  PB 
1
2
4
5 
1
1

10
10
AO
 3r
tan 
9
3

10
10
tan  
OP 
1
3
AO
 r 10
sin 
In un triangolo ABC rettangolo in A ha il cateto AB=7a e tan(ABC)=24/7. Sul prolungamento dell’altezza AH
relativa all’ipotenusa, dalla parte di H, si consideri un punto P tale che AP=24°. Calcolare la distanza PC
tan  
sin

2

24
7
cos  
1
1  tan 2 

7
25  18  9  3
2
50
25 5
1

576
1
49
1
AC  AB tan   7a
AB=7a
cos

2

1
7
49
49 24

sin   1 
 1

625
625 25
625 25
49
7
25  32  16  4
2
50
25 5
1
24
 24a
7
allora si vede che AC=AP e quindi il triangolo APC è isoscele.
Da cui l’angolo alla base HPC=90-/2
HC  AC sin   24a
24 576

a
25 25
HC  PC sin(90   / 2)  PC cos  / 2
576
a
HC
144
25
PC 


a
4
cos  / 2
5
5
Problema n. 43
Dato il triangolo isoscele ABC : AB=BC=15 e cosA=cosB=1/3
Calcolare: a) il perimetro b) le misure delle altezze c) la misura di CM, essendo m l’ortocentro.
cos  
1
1
8
sin   1  
3
9
3
tan   8
1
AB  2 BH  2CB sin(90   )  2 15  cos   30  10
3
P  AB  BC  AC  15  15  10  40
CH  CB sin   15  sin   15
8
 5 8  10 2
3
AK  AB sin   10  sin   10
8 10
20

8
2
3
3
3
AH  MH tan 
MH 
CM  CH  MH  10 2 
AH
5
5
5 2



tan 
4
8 2 2
5 2 40 2  5 2 35 2


4
4
4