Shift laterale del centro del plasma

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Shift laterale del centro del plasma.
Per meglio approssimare la presenza di una grande isola centrale assumiamo che la stessa
isola comprime le linee di forza stazionarie del campo magnetico.
La geometria e' in questo caso cambiata rispetto ad una situazione centrata:
Come si vede la presenza dell'isola comprime le linee di flusso e sposta il centro.
Come prima approssimazione scriviamo le trasformazioni tra situazione concentrica e
nuova situazione.
Siano r e  le coordinate concentriche e r' e ' le coordinate spostate. Sia  l'eccentricita'
delle superfici funzione di r'. Assumiamo una dipendenza lineare:
a  r
(1
  0
  0  k r
a
In modo tale che  vale zero per r' = a e  = 0 per r' = 0
Abbiamo quindi:

 r sin    r sin 
(2
r cos     r cos





k
r


0
Che si possono semplificare in:

rsin    rsin 
(3
r cos     r cos   k
   

0
ricordando le formule:
tan  2
sin    2
1  tan 2  2
(4
1  tan 2  2 
cos  
1  tan 2  2 
chiamando:
x  tan  2
x  tan 2 
x
1  x2
1 x2
B r
1 x2
A r
(5
Le equazioni diventano:
x 

A  r

1 x 2
(6


1  x 2
1  k  1 k x 2


 k  r
B  r
1  x 2

1  x 2

Eliminando r' tra le due si ottiene:
(7
1  kAx2  Bx A1 k  0
La cui soluzione è:
B  B 2  4A 2 1 k 2 
(8
x 
2A1  k 
Si può notare che il discriminante è sempre positivo se k<1 ovvero 0<a. Inoltre:
B2  4A 2 1 k 2   B se : k  1
(9
Tra le due soluzioni noi cerchiamo quella che dà r' positivo. Questa è quella con il segno
positivo, in quanto il segno di A nella soluzione per x' si compensa con la "A" presente
nella soluzione per r'. Per evitare divergenze nella soluzione di r' si può fare il quadrato
delle equazioni e sommarle:
2
2
2
2
2
2
2
r sin   r cos   0   r  sin  r cos  k 
( 10
r 2   02  2r0 cos   r2 1 k 2  2k cos
Anche questa non diverge fintanto che k<1.
Alla fine otteniamo:
1

A  r sin 
B  r cos   0
k 0
2
a
 B  B 2  4A 2 1 k 2 
  2arctan 

2 A1  k 2 


r 2  02  2r0 cos 
1  k 2  2k cos 
Nota: per il calcolo dell'arcotangente si può usare la funzione atan2 per evitare
divergenze in =0 e =π
r 
( 11
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