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Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC misura 2a e l’angolo ABC è di 30°. Determina un punto P
dell’altezza AH relativa all’ipotenusa in modo che sia 3AC 2 − CP 2 = PB 2
Risoluzione per via trigonometrica:
ACB=x
0<x<60°
Triangolo ABC:
BC = 2a
AC = 2a sin 30 = a
AH = AC sin 60 =
3
a
2
Triangolo CPH CP =
Triangolo PHB
AB = 2a cos 30 = 3a
HC = AC cos 60 = a
1 a
=
2 2
BH = AB cos 30 = 3a
3 3a
=
2
2
HC
a
=
cos x 2 cos x
1
PH = HC tan x = a tan x
2
2
2
2
3a 1
9a 1 2
PB 2 = BH 2 + PH 2 = + a tan x =
+ a tan 2 x
4
4
2 2
Relazione del problema:
3AC 2 − CP 2 = PB 2
3 ⋅ a2 −
a2
9a 2 1 2
=
+ a tan 2 x
2
4 cos x
4
4
12 cos 2 x ⋅ a 2 − a 2 = 9a 2 cos 2 x + a 2 sin 2 x
sin 2 x − 3cos 2 x + (sin 2 x + cos 2 x) = 0
tan x = ±1
x = 45°
x = 135° non accettabile:
3 ⋅ a2 −
a2
9a 2 1 2 sin 2 x
=
+ a
4 cos 2 x
4
4 cos 2 x
a 2 sin 2 x − 3a 2 cos 2 x + a 2 = 0
2sin 2 x − 2 cos 2 x = 0 tan 2 x = 1
Risoluzione via geometria classica:
3AC 2 − CP 2 = PB 2
Ora poniamo PH=x
0<x<AH
se BC=2a dato che il triangolo è di angolo è la meta di un triangolo equlilatero
AB = 3a
AC = a per pitagora
Per I di euclide.
AB 2 3a 2 3a
BH =
=
=
BC
2a
2
AC 2 a 2 a
HC =
=
=
BC 2a 2
AH = BH ⋅ HC =
3
a
2
Triangolo CPH:
CP 2 = PH 2 + CH 2 = x 2 +
a2
4
Triangolo HPH:
PB 2 = PH 2 + BH 2 = x 2 +
9a 2
4
Relazione del problema:
3AC 2 − CP 2 = PB 2
3a 2 − x 2 −
8 x = 2a
2
2
a2
9a 2
= x2 +
4
4
x2 =
a2
4
12a 2 − 4 x 2 − a 2 = 4 x 2 + 9a 2
x=
Osserviamo che se PH = x =
a
2
a
= CH
2
ovviamente l’angolo in C è 45°
ˆ tan ACB
ˆ =
Allo stesso modo: PH = HC tan ACB
PH
ˆ = 45°
= 1 da cui da cui ACB
HC
