Esercizi e complementi di Algebra lineare e geometria analitica

Esercizi e complementi di Algebra lineare e
geometria analitica
Nicola Durante
18 febbraio 2004
Capitolo 1
Geometria analitica nel
piano
Sia fissato nel piano un riferimento cartesiano, monometrico ed ortogonale.
1) Rappresentare la retta per P (1, 2) parallela alla retta di equazione x − y +
1 = 0.
2) Scrivere un’equazione cartesiana ed un’equazione parametrica per le seguenti rette:
i) per P (1, −1) e per l’origine;
ii) per P (1, 3) parallela all’asse y;
iii) per A(1, 0) e parallela alla retta congiungente B(2, 0) e C(1, −1);
iv) per A(1, 0) ed otogonale alla retta congiungente B(2, 0) e C(1, −1);
v) per A(−1, 2) e B(−3, 2).
3) Trovare
il punto di intersezione delle rette r ed s. r : x − y + 2 = 0 ed
½
x=1
s:
y = −1 + 3t
4) Determinare la posizione reciproca delle seguenti rette r1 : x½− y + 3 = 0;
x=0+t
r2 : x + 2y − 1 = 0; r3 : 2x − y + 4 = 0; r4 : x + y = 0; r5 :
y =3+t
½
x=0+t
r6 :
y = 3 + 2t
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5) Scrivere le equazioni di due rette parallele alla retta congiungente A(0, 2)
e B(1, 3).
6) Scrivere l’ascissa del punto di ordinata −1 appartenente alla retta di
equazione x − y + 4 = 0.
7) Scrivere l’ordinata del punto di ascissa 7 appartenente alla retta di equazione
x − y + 4 = 0.
8) Determinare quali delle seguenti coppie di rette rappresentano la stessa
retta (e perchè).
i) x + y − 3 = 0 e 2x + 2y − 6 = 0.
ii) x + y − 3 = 0 e 2x + 2y − 4 = 0.
½
x=3+t
iii) 2x − y + 3 = 0 e
y = 0 + 2t
½
x=0+t
iv) 2x − y + 3 = 0 e
y = 3 + 2t
8) Scrivere l’equazione di una retta passante per il punto P (0, 4).
9) Siano A(1, −1), B(3, 1), C(0, 0). Il triangolo ABC è rettangolo ? Se si,
qual’è l’angolo retto ?
10) Scrivere le equazioni di tutte le rette passanti per il punto A(3, −2).
11) Scrivere le equazioni di tutte le rette parallele alla retta x − 3y + 2 = 0.
12) Calcolare l’area del triangolo di vertici A(2, 1), B(3, 0), C(−2, 2).
13) Scrivere un’equazione dell’asse del segmento di estremi A(−1, 2) e B(2, 3).
14) Quanti e quali sono i punti C tali che il triangolo ABC sia isoscele di base
AB e abbia area 10, se A(−2, 3) e B(2, 0)?
15) Quante e quali sono le rette a distanza 3 dalla retta 4x − 3y + 2 = 0?
16) Se A(−1, 2) e B(3, 5) in quanti e quali modi si puó scegliere un punto C
tale che il triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area 1 ?
17) Calcolare la distanza del punto A(1, 2) dalla retta x − y + 1 = 0.
½
x = 1 + 2t
19) Calcolare la distanza del punto A(1, 2) dalla retta
y =1+t
½
x = −1 + t
20) Calcolare la distanza tra le due rette 2x − y = 0 e
y = 1 + 2t
2
21) Si determinino due punti A e B in modo che il triangolo ABC sia rettangolo in C ed abbia un cateto parallelo alla retta 2x + 3y + 4 = 0.
22) Scrivere le equazioni di tutte le rette perpendicolari alla retta 4x−6y +1 =
0.
23) Si determinino tre punti A, B, C in modo che ABCD sia un quadrato con
D(1, −1) che abbia due lati paralleli alla retta 2x + y = 0.
24) Assegnati i punti A(1, −1), B(2, 0), C(3, −1), determinare un punto D in
modo che ABCD sia un parallelogramma e calcolarne l’area.
25) Calcolare perimetro e area del triangolo di vertici A(1, 1), B(3, 2), C(0, 3).
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