Liceo Scientifico “G. Alessi” Perugia
A. S. 2009-2010
Simulazione seconda prova scritta dell’esame di stato – 5 maggio 2010
Cognome e nome ……………………………………………..
classe V sez.
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi e le risposte a cinque domande
scelte all’interno del questionario.
E’ consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.
Durata della prova 5 ore.
Problema n.1
a. In un piano cartesiano ortogonale Oxy si consideri la parabola che passa per il punto
A(2,0) e ha nel punto B(0;-2) come tangente la retta di equazione x+y+2=0.
b. Si determinino nel fascio di rette di centro B le rette tali che i loro punti d’intersezione
con la retta di equazione y=1 siano i punti medi delle corde intercettate sulla parabola.
c. Si calcolino le aree dei segmenti parabolici individuati dalle rette trovate.
Problema n.2
Tracciare il grafico γ della funzione:
f(x)=
x 2 6x 5
In particolare:
a. Studiare la continuità e la derivabilità della f(x).
b. Determinare la natura di γ per 1 x 5 .
5
c. Calcolare
f ( x)dx .
1
d. Provare che la retta di equazione x=3 è asse di simmetria di γ.
Questionario
1. La retta x a divide in due parti uguali l’area tra la parabola y 2x 2 , la retta x 6 e
l’asse delle ascisse. Qual è il valore di a ?
2. Il rapporto tra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire,
fornendone ampia spiegazione, se si può stabilire il valore del rapporto tra i volumi dei
solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base
maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.
3. Sia data la funzione f ( x) ae 2 x be 2 x xe 2 x , con a e b parametri reali. Si determinino i
valori di a e b tali che il grafico di f(x) ammetta l’asse delle ascisse come asintoto
orizzontale e che, nel punto di intersezione con l’asse delle y, la retta tangente sia
parallela alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante.
4. Tra tutti i cilindri inscritti in una sfera di raggio r, qual è quello di superficie laterale
massima? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
x
5. Si calcoli f(4) sapendo che
f (t )dt x cos x .
0
6. Quale tra le seguenti funzioni ha almeno un punto angoloso? Dopo averla individuata disegnarne
il grafico evidenziando il o i punti angolosi
a) y
3
x
b) y ln x
c) y e
x
d) y cos x
e)
y x 2 3x 4
7. Stabilire, se possibile, una condizione sul parametro reale a in modo che la funzione
y= 2 x 3 3ax 2 6 x 10 non ammetta punti di stazionarietà.
8. Determinare, motivando il numero e il segno delle soluzioni della seguente equazione:
1
e x 1 , ammette almeno una soluzione reale
x
9.
Un corpo si muove di moto armonico con la seguente legge oraria x 3 cos( 2t ) (le
grandezze sono espresse nel S.I). Determinare, motivando, gli istanti in cui la velocità
ha modulo 6 m/s.
10) Data una qualsiasi funzione y f (x) la funzione y f ( x ) è sempre pari. Vero o falso?
Motivare la risposta.
