Esercizi di trigonometria
1. Sia AC una corda di un semicerchio di centro O e diametro AB=2r. Sia D il punto
medio dell’arco minore AC e H il punto medio della corda AC. Stabilire la variazione
della differenza tra l’area del quadrato costruito su HB e l’area del triangolo ABD in
funzione della posizione del punto C. Studiare la funzione ottenuta stabiliendone il
suo periodo fondamentale, studiarne il segno e valutarla agli estremi.
2. Su una semicirconferenza di diametro AB=2r si tracci una corda AA’ e il raggio OO’
parallelo a AA’. Si consideri la funzione y(x)=AA’- OO’ e se ne studi dominio e segno
nel periodo fondamentale.
3. Data la semicirconferenza di diametro AB=2r si mandi dal punto A la tangente e su
di essa si prendano i segmenti AE=r e AF=2r, dalla stessa parte rispetto alla
semicirconferenza. Si determini su questa un punto Q e si consideri la funzione
y(x)= QE2-QF2. Disegnarla. SI studi anche la funzione h(x)=PE2/PF2
4. Sopra una semicirconferenza di diametro AB=2r si determini un punto C tale che,
indicata con D la sua proiezione sulla tangente in B alla semicirconferenza si studi la
funzione y=AC+CDr
5. Sia ABC un triangolo inscritto in una semicirconferenza di diametro BC. Sia D un
punto di BC. La perpendicolare in D al diametro interseca la semicirconferenza in P
e le rette AB e AC in M e N. Dimostrare che DP è medio proporzionale tra DM e DN.
6. Internamente al quadrato ABCD di lato a tracciare la semicirconferenza di diametro
AB. Esprimere al variare di P sull’arco AB la funzione 3AP2-DP2. Rappresentare in
["# , # ] la funzione ottenuta, y=f(x), e metterne in evidenza il tratto di grafico
relativo al problema. Determina il punto di massimo della funzione nell’intervallo di
variabilità relativo al problema. Studiare il segno della funzione f(x).
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7. Considerato il triangolo ABC avente i lati CA = a e CB = 2a , si costruisca, da parte
opposta a C rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia
uguale alla metà del cateto AB. Si studi come varia l'area del quadrangolo ADBC al
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variare dell'angolo ACB e si calcoli il perimetro di detto quadrangolo quando la sua
area è massima. (Maturità 1988, sessione ordinaria)
