Integrali indefiniti e definiti
Esempi di calcolo di integrali indefiniti e
definiti
1. Si ha che
Z µ
¶
4
2x4/3 +
+ 5 sin(πx) dx
2
1 + 3x
Z
=2
x4/3 dx + 4
Z
1
√
dx + 5
2
1 + ( 3x)
Z
sin(πx) dx
√
4
5
6 7/3
+ √ arctan( 3x) − cos(πx) + c .
= x
7
π
3
Osservazione generale importante: per verificare il risultato del calcolo di un integrale indefinito, è sufficiente
derivare la primitiva ottenuta e verificare
che in qs. modo si ritrova la funzione di partenza
Per esempio,
Ã
√
d 6 7/3
4
5
x
+ √ arctan( 3x) − cos(πx)
dx 7
π
3
4
4/3
= 2x
+
+ 5 sin(πx)
1 + 3x2
!
Quindi, l’area A della regione piana compresa
fra il grafico della funzione
4
+5 sin(πx)
2
1 + 3x
(si noti che f è continua e positiva su [0, 1]) e
l’asse delle x è (prendo la primitiva con c = 0)
f (x) = 2x4/3+
f : [0, 1] → R,
A=
Z 1µ
0
¶
4
4/3
2x
+
+ 5 sin(πx) dx
1 + 3x2
"
#1
√
6 7/3
4
5
=
x
+ √ arctan( 3x) − cos(πx)
7
π
3
0
µ
¶
√
4
5
5
6
= + √ arctan( 3) − cos(π) − − cos(0) .
7
π
π
3
2. Si ha che
Z
3
1
−x dx
³ ´+
+
4e
x
3x
cos2 2
Z
=3
1
1
³ ´ dx +
3
cos2 x
2
µ ¶
Z
1
dx + 4
x
Z
x
1
= 6 tan
+ ln(|x|) − 4e−x + c .
2
3
e−x dx
Quindi, l’area A della regione piana compresa
fra il grafico della funzione
·
¸
1 π
f : ,
→R
2 2
3
1
−x
³ ´+
+
4e
x
3x
cos2 2
h
i
1
π
(si noti che f è continua e positiva su 2 , 2 ) e
f (x) =
l’asse delle x è (prendo la primitiva con c = 0)
A=
Z π/2
1/2
·
1
−x dx
³ ´+
+
4e
x
3x
cos2 2
3
¸π/2
x
1
= 6 tan
+ ln(x) − 4e−x
2
3
1/2
= ...
µ ¶
